北師大版選修2-2高考數(shù)學(xué)14數(shù)學(xué)歸納法-資料下載頁
2024-11-18 00:49本頁面
【導(dǎo)讀】證明問題的原理.有關(guān)的不等式整除問題.數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.=1或2等)時,命題成立;)時命題成立的前提下,推出當(dāng)n=k+1時,開始的正整數(shù)n都成立.的基礎(chǔ),稱為“歸納奠基”;第二步解決的是延續(xù)性問題,又稱“歸納遞推”.+1等),證明應(yīng)視具體情況而定;歸納法步驟間的嚴密邏輯關(guān)系,造成推理無效;這樣就能有效減少論證的盲目性.解析:由題意知n≥4,n∈N+,所以第一步應(yīng)驗證n=4,故選D.根據(jù)和,可知結(jié)論正確.的左邊和右邊可能增加的項數(shù)不一定相同.結(jié)論.關(guān)鍵是明確當(dāng)n=k+1時證明的目標(biāo),充分考慮用由n=k到n=k+1時,命題形式之間的區(qū)別與聯(lián)系.特點為:分母由n+1開始,依次增大1,一直到2n,共n項.項,而等式右邊有n項,然后再按數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求給出證明.的前n項和,可用求和公式,這里考
【正文】 ( 2 ?? + 2 )( 2 ?? + 4 ) =??4 ( ?? + 1 )+14 ( ?? + 1 )( ?? + 2 ) =?? ( ?? + 2 ) + 14 ( ?? + 1 )( ?? + 2 )=( ?? + 1 )24 ( ?? + 1 )( ?? + 2 ) =?? + 14 ( ?? + 2 )=?? + 14 [( ?? + 1 ) + 1 ], ∴ 當(dāng) n = k+ 1 時 ,等式成立 . 由 ( 1 ) 和 ( 2 ) ,可知對一切 n ∈ N+等式都成立 . 1 2 3 4 5 1 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 “ 2nn2+ 1 對于 n ≥ n 0 的自然數(shù) n 都成立 ” 時 , 第一步證明中的初始值 n 0 應(yīng)取 ( ) 答案 : C 1 2 3 4 5 2 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 ( n+ 1 ) ( n+ 2) ? ( n + n ) = 2n 1 3 ? (2 n 1 ) ( n ∈ N+), 從“ k 到 k+ 1 ” 左端需增乘的代數(shù)式為 ( ) k+ 1 B . 2 ( 2 k+ 1) C.2 ?? + 1?? + 1 D.2 ?? + 3?? + 1 解析 :當(dāng) n = k 時 ,左邊 = ( k+ 1 ) ( k+ 2) … ( k+ k ), 而當(dāng) n = k+ 1 時 , 左邊 = [( k+ 1) + 1 ] [ ( k+ 1) + 2] … [( k+ 1) + ( k 1 ) ] [ ( k+ 1) +k ][( k+ 1) + ( k+ 1 ) ] = ( k+ 2 ) ( k+ 3) … ( k+ k )(2 k+ 1 ) ( 2 k+ 2) = 2( k+ 1 ) ( k+ 2) … ( k+ k ) ( 2 k+ 1) . 答案 : B 1 2 3 4 5 3 .對于不等式 ??2+ ?? n + 1( n ∈ N+), 某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下 : ( 1 ) 當(dāng) n= 1 時 , 12+ 1 1 + 1, 不等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k ( k ∈ N+) 時 , 不等式成立 , 即 ??2+ ?? k+ 1, 則當(dāng) n = k+ 1 時 , ( ?? + 1 )2+ ( ?? + 1 ) = ??2+ 3 ?? + 2 ( ??2+ 3 ?? + 2 ) + ( ?? + 2 ) = ( k + 1) + 1, ∴ 當(dāng) n = k+ 1 時 , 不等式成立 . 1 2 3 4 5 關(guān)于上述證法 , 下列說法正確的是 ( ) A. 過程全部正確 B. n= 1 時驗證不正確 C. 歸納假設(shè)不正確 D. 從 n = k 到 n = k+ 1 的推理不正確 解析 :因為從 n = k 到 n = k+ 1 的證明過程中沒有用到歸納假設(shè) . 答案 : D 1 2 3 4 5 4 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 +12+13+ ? +12?? 1n ( n 1 且 n ∈ N + ) 第一步要證明的不等式是 , 從 n = k 到 n = k+ 1 時 , 左端增加了 項 . 解析 :當(dāng) n= 2 時 ,1 +12+13 2 .當(dāng) n = k 時到第 2k 1 項 ,而當(dāng) n = k+ 1 時到第 2k+ 1 1項 ,即 2k+ 1 1 (2k 1) = 2k+ 1 2k= 2 2k 2k= 2k. 答案 : 1 +12+13 2 2k 1 2 3 4 5 5 .數(shù)列 { a n } 中 , a 1 = 1, 且 S n , S n+ 1 ,2 S 1 成等差數(shù)列 , 則 S 2 , S 3 , S 4 分別為 ,由此猜想 S n = . 解析 :由題意得 2 S n+ 1 =S n + 2 S 1 ,且 S 1 =a 1 = 1, 令式子中的 n 分別取 1 , 2 , 3 可得S 2 =32, S 3 =74, S 4 =158,從而歸納得 S n =2?? 12?? 1. 答案 :32,74,158 2?? 12?? 1
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