高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法綜合測(cè)試題-資料下載頁
2025-04-04 05:17本頁面
【正文】 將它們所在的平面分成個(gè)區(qū)域．[證明] (1)n＝2時(shí)，兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，k條直線將平面分成塊不同的區(qū)域，命題成立．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)其中的一條直線為l，其余k條直線將平面分成塊區(qū)域，直線l與其余k條直線相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將l分成k＋1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k＋1塊．從而k＋1條直線將平面分成＋k＋1＝塊區(qū)域．所以n＝k＋1時(shí)命題也成立．由(1)(2)可知，原命題成立．18．(2010衡水高二檢測(cè))試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．[分析] 由題目可獲取以下主要信息：①此題選用特殊值來找到2n＋2與n2的大小關(guān)系；②利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論．解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想．[解析] 當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4n2＝1，當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6n2＝4，當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10n2＝9，當(dāng)n＝4時(shí)，24＋2＝18n2＝16，由此可以猜想，2n＋2n2(n∈N*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，所以左邊右邊，所以原不等式成立．當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，所以左邊右邊；當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊右邊．(2)假設(shè)n＝k時(shí)(k≥3且k∈N*)時(shí)，不等式成立，即2k＋2＝k＋1時(shí)，2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－22k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2(k＋1)2成立．根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)于任何n∈N*都成立．由蓮山課件提供
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