新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法同步測(cè)試題-資料下載頁
2024-11-15 21:17本頁面
【導(dǎo)讀】，，，驗(yàn)證結(jié)論是否正確，得到此結(jié)論成立的條。N且3n≥Ｃ．n為正奇數(shù)Ｄ．n為正偶數(shù)。3．在ABC△中，sinsincoscosACAC?，則ABC△一定是（）。4．在等差數(shù)列??··，類經(jīng)上述性質(zhì)，在等比。，，則4578bbbb，，，的一個(gè)不等關(guān)系是（）?！埽梅醋C法證明時(shí)，可假設(shè)2pq?的兩根的絕對(duì)值都小于1．用反證。7．如圖，在梯形ABCD中，()ABDCABaCDbab???．試用類比的方法，推想出下述問題的結(jié)果．在上面。的梯形ABCD中，延長(zhǎng)梯形兩腰ADBC，相交于O點(diǎn)，設(shè)OAB△，9．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程20axbxca????有有理根，那么abc，，10．用數(shù)學(xué)歸納法證明()213nnnnnn?????，下面正確的運(yùn)算公式是（）。Ａ．22020Ｂ．22020Ｃ．20202020?13．寫出用三段論證明3()sin()fxxxx???的函數(shù)是奇函數(shù)，大前提。面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影。△△△·是一個(gè)真命題．。在圖中，連結(jié)DM，并延長(zhǎng)交BC于E，連結(jié)AE，則有DEBC?18．如圖，已知PA?矩形ABCD所在平面，MN，分別是ABPC，的中點(diǎn)．
【正文】 由上述矛盾可知， a 一定是偶數(shù)． 18．已知命題：“若數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列，且 0na? ，則數(shù)列 12 ()nnnb a a a n ???N也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論． 解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列，則數(shù)列 12 nn a a ab n? ? ??也是等差數(shù)列． 證明如下： 設(shè)等差數(shù)列 ??na 的公差為 d ，則 12 nn a a ab n? ? ??11( 1 )2( 1 )2n n dna dann??? ? ? ?， 所以數(shù)列 ??nb 是以 1a 為首項(xiàng)， 2d 為公差的等差數(shù)列 19．已知 abc?? ，且 0abc? ? ? ，求證： 2 3b aca? ?． 證明：因?yàn)?abc?? ，且 0abc? ? ? 所以 0a? ， 0c? ，要證明原不等式成立，只需證明 2 3b ac a?? r， 即證 223b ac a?? ，從而只需證明 22( ) 3a c ac a? ? ? ， 即 ( )(2 ) 0a c a c? ? ?， 因?yàn)?0ac?? ， 20a c a c a a b? ? ? ? ? ? ?， 所以 ( )(2 ) 0a c a c? ? ?成立，故原不等式成立． 20．用三段論方法證明： 2 2 2 2 2 2 2 ( )a b b c c a a b c? ? ? ? ? ? ?≥． 證明：因?yàn)?222a b ab? ≥ ，所以 2 2 2 22 ( ) 2a b a b ab? ? ?≥ （此處省略了大前提）， 所以 22 22 ()a b a b a b? ? ?≥ ≥（兩次省略了大前提，小前提）， 同理， 22 2 ()2b c b c??≥， 22 2 ()2a c a? ? ?， 三式相加得 2 2 2 2 2 2 2 ( )a b b c c a a b c? ? ? ? ? ? ?≥． （省略了大前提，小前提） 21．由下列不等式： 112?， 1123? ? ?， 1 1 1 312 3 7 2? ? ? ? ?， 1 1 1122 3 15? ? ? ? ?， ，你能得到一 個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明． 解：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第 n 個(gè)不等式，即一般不等式為： 1 1 11 ( )2 3 2 1 2n n n ?? ? ? ? ? ?? N． 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)， 112? ，猜想成立； （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)，猜想成立，即 1 1 11 2 3 2 1 2k k? ? ? ? ??， 則當(dāng) 1nk??時(shí)， 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2kk k k k k k k kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?，即當(dāng) 1nk??時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的 n ??N ，不等式成立． 22．是否存在常數(shù) a b c， ， ，使得等式 2 2 2 2 2 2 4 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )n n n n n a n b n c? ? ? ? ? ? ? ? ?對(duì) 一切正整數(shù) n 都成立？若存在，求出 a b c， ， 的值；若不存在，說明理由． 解：假設(shè)存在 a b c， ， ，使得所給等式成立． 令 123n?， ， 代入等式得 016 4 381 9 18abca b ca b c? ? ???? ? ???? ? ??，，解得14140abc? ???? ????????，， 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)一切正整數(shù)n 都成立． （ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)，由以上可知等式成立； （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)，等式成立，即 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 則當(dāng) 1nk??時(shí)， 2 2 2 2 2 2 2 21 [ ( 1 ) 1 ] 2 [ ( 1 ) 2 ] [ ( 1 ) ] ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 4 21 1 ( 1 ) 1 1( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 4 2 4 4kkk k k k k?? ? ? ? ? ? ? ?． 由（ 1）（ 2）知，等式結(jié)一切正整數(shù) n 都成立．
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