【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ?2432 ???? xxx 分析：常見這種問題會想到同時在兩邊乘以 ? ?2?x ，將原方程化簡為 43??x ；而忽視了 2?x 是否等于 0 .可以根據(jù) 2?x 或 2?x 兩種情況 . 解：（ 1）當(dāng)2?x時； ? ? 4030 ???? x 即 2?x 當(dāng) 2?x 時；同時兩邊除以 2?x 有 43??x 即 1?x 所以原方程的解為 2?x 或 1?x 根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類 數(shù)形結(jié)合思想刻畫了數(shù)量關(guān)系與圖形運動的相互依存的關(guān)系，因圖形位置不能確定或形狀的變化，形狀直觀為我們提供分類討論的方法，如求集合的交集、并集、補集時，可以用數(shù)軸來表述；以及一元二次方程的實數(shù)根分布借用二次函數(shù)與 x軸交點情況進(jìn)行討論 . 例 如圖 21 中，分別以直線 m上的點 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 為端點的線段共有多少條？ 圖 21 A B C D F E m 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 6 分析：線段 AB 與 BA是同一條直線，如依字母排列順序表示線段，則一條線段就對應(yīng)一個左端點，不妨以線段的左端點為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類計算 . （ 1）以 A 為左端點的線段有 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 AF 共 5條； （ 2）以 B 左為左端點的線段有 BC 、 BD、 BE、 BF 共 4條； （ 3）以 C 為端點的線段有 CD、 CE、 CF 共 3條； （ 4）以 D 為左端點的線段有 DE 、 DF 共 2條； （ 5）以 E 為左端點的線段僅有 EF 共 1條 . 所以，共有 1512345 ????? 條線段 . 依據(jù)某些數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行分類 數(shù)學(xué)研究對象往往具備一定性質(zhì)，如歐偶次方根的性質(zhì)；二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；反三角函數(shù)的定義域、值域等，再利用這些函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題時，就需要根據(jù)這些性質(zhì)成立的相關(guān)條件進(jìn)行分類討論處理 . 例 如用分類方法來討論正比例函數(shù) )0( ?? kkxy 的圖像與性質(zhì)： （ 1）當(dāng) 0?k 時，圖像經(jīng)過第一、三象限， y 隨 x 的增大而增大； （ 2） 當(dāng) 0?k 時，圖像經(jīng)過第二、四象限， y 隨 x 的增大而減小 . 例 用分類方法討論一元二次方程 )0(02 ???? acbxax 的根的情況： （ 1）當(dāng) 042 ???? acb 時，方程有 2 個相異實數(shù)根； （ 2）當(dāng) 042 ???? acb 時，方程有 2 個相等實數(shù)根； （ 3）當(dāng) 042 ???? acb 時，方程沒有實數(shù)根 . 依據(jù)位置關(guān)系進(jìn)行分類 在幾何問題中點與點，點與線，點與面，線與線，線與面等的位置關(guān)系是分類的依據(jù)，如異面直線上兩點的距離；在排列組合問題中，有限制條件時，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮特殊元素的位置關(guān)系來分類處理 . 例 A 、 B 、 C 是平面 ? 外的三點，他們到平面 ? 的距離分別為 3,6,6 ，求 ABC? 的重心 G 到平面 ? 的距離 . 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 7 分析：如圖 22，由于點 A 、 B 、 C 在平面 ? 外，且到平面 ? 的距離為 3,6,6 ，而他們可能在平面 ? 的同 側(cè)，也可能在異側(cè)，因此要進(jìn)行分類討論 . 圖 22 解：（ 1）當(dāng) A 、 B 、 C 在平面 ? 同側(cè)時，重心 G 到平面 ? 的距離 53 366 ????d （ 2）當(dāng) A 、 B 在平 面 ? 同側(cè)， C 在另一側(cè)時， 33 366 ????d （ 3）當(dāng) A 、 C 在平面 ? 同側(cè)， B 在另一側(cè)時， 13 636 ????d 所以， ABC? 的重心 G 到平面 ? 的距離是 5,3,1 依據(jù)參數(shù)變化進(jìn)行分類 某些含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題，由于所含參數(shù)取值的不唯一，會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的推演方法，這時就可以根據(jù)參數(shù)的不同取值情況進(jìn)行分類討論，比如在考慮正比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像相關(guān)性質(zhì)問題時，都會根據(jù)參數(shù)取值范圍進(jìn)行分類處理 . 例 直線 l 的方程為 )0(01s inc os ???? ????? yx ,求直線 l 的斜率與傾斜角 . 分析：這個問題用到直線斜率與傾斜角的得概念，這些概念都是分段定義的 .? 是變量，導(dǎo)致 ?? cos,sin 都是會隨 ? 的改變而改變，因此在解這類問題時需要分類討論 . 解：（ 1）當(dāng) 0?? 時，因為直線方程為 1?x ，所以直線 l 的斜率 k 不存在，傾斜角 2??? 。 （ 2）當(dāng) ????0 時，因為 )tan (c o t 2 ?? ? ???k ， 因此，當(dāng) 20 ???? 時，傾斜角 ??? ??2 當(dāng) ??? ??2 時，傾斜角 22 ?????? ????? 根據(jù)直線斜率的定義：當(dāng)傾斜角 2??? 時， ?tan?k ； 當(dāng)傾斜角 2??? 時， k 不存在 . ?A ?B C? ? 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 8 所以（ 1） 0?? 時， 2??? ， l 的斜率 k 不存在； （ 2） 20 ???? 時， ??? ??2 ， l 的斜率 k 為 ?tan ； （ 3） ??? ??2 時， 2??? ?? ， l 的斜率 k 為 ?tan ； 注意，在應(yīng)用直線斜率概念時，特別是直 線運動時，要十分注意斜率是否可能不存在，否則會出現(xiàn)無解現(xiàn)象 . 根據(jù)整數(shù)的奇偶性進(jìn)行分類 有些數(shù)學(xué)問題中，涉及到有關(guān)整數(shù)的問題，可以根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)分為兩大類，其實這就是二分法的主要形式之一 .所謂的二分法就是按概念的對象有無某一性質(zhì)進(jìn)行分類處理 . 例 已知數(shù)列 ??na 的前 n 和為 nS ，滿足關(guān)系式 221?????? ?? nn aS，且 0?na ，若? ? nnn Sb 1?? ，求 (1)求 nS 及其數(shù)列 ??nb 的通項公式 . （ 2）數(shù)列 ??nb 的前 n 項的和 nT ． 解： ⑴ ? 當(dāng) 1?n 時，由 2111 2 1?????? ??? aSa， 得 11?a ； ? 當(dāng) 2?n 時，由 2121 2 12 1 ?????? ???????? ???? ?? nnnnn aaSSa， 得 ? ?? ? 0211 ???? ?? nnnn aaaa ． 0?na? ， 21 ??? ?nn aa ， 即 ??na 是首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，從而 2nSn? ， ? ? ? ? 211 nSb nnnn ???? ． ⑵ ? 當(dāng) ? ???? Nmmn 2 ，即偶數(shù)時， 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 9 mn TT 2? ? ? ? ? 222222 2124321 mm ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?222222 1223412 ???????? mm? ? ?2 122 ?? mm ? ?2 1?? nn； ? 當(dāng) ? ?Nmmn ??? 12 ，即奇數(shù)時， ? ? ? ?2 12 1 22212 ????????? ? nnnnnbTTT mmmn ． 綜上所述 ? ? ? ? ? ??????? NnnnT nn ,2 11 ． 第三章 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 分類思想在集合中的應(yīng)用 在集合運算中也常常需結(jié)合元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系分類討論，尤其是對一些含參數(shù)的集合問題，常 需要進(jìn)行分類討論求解． 例 設(shè) 2{ | 2 }, { | 2 3 , }, { | , },A x x a B y y x x A C z z x x A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且 BC? ，求實數(shù) a 的取值范圍． 分析：當(dāng) ax???2 時 2zx? 的范圍與實數(shù) a 取值的正負(fù)號， a 與 2的大小均有關(guān)系，因此需針對 a 分情況討論研究，從而求出集合 C ，再依據(jù) BC? ，計算出 a 的取值范圍． 解： ? ?axxA ???? 2? ， ?? AxxyyB ????? ,32 ? ?321 ????? ayy ． ⑴ 當(dāng) 20a? ? ? 時， 2{ | 4}C z a z? ? ?，因為 CB? ，所以 4 2 3a??， 解得 12a? ， 與 20a? ? ? 矛盾． ⑵ 當(dāng) 02a??時， 2{ | 4}C z a z? ? ?，因為 CB? ，所以 4 2 3a??， 解得 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 10 12a? ， 故 1 22 a??． ⑶ 當(dāng)2a?時， 2{ | 0 }C z z a? ? ?，因為 CB? ，所以 2 23aa??， 解得 13a? ? ? ， 故 23a??． 綜上可得 1 32aa????????． 分類討論思想在函數(shù)中的 應(yīng)用 分段函數(shù)中的分類討論 例 已知函數(shù)( ) 3 1f x x x? ? ? ?，作函數(shù) ()fx的圖像． 分析： ()fx為分段函數(shù)，沒有固定統(tǒng)一的表達(dá)式，所以需安零點分區(qū)間研究． 解 ：⑴ 當(dāng) 1x?? 時， ( ) 3 1 2 2f x x x x? ? ? ? ? ? ?； ⑵ 當(dāng) 13x? ? ? 時， ( ) 3 1 4f x x x? ? ? ? ?； ⑶ 當(dāng) 3x? 時， ( ) 3 1 2 2f x x x x? ? ? ? ? ?； 即 2 2 , 1( ) 4 , 1 32 2 , 3xxf x xxx? ? ? ???? ? ? ???