對稱思想在幾何中的應用研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 17:46 本頁面
【文章內容簡介】 用（一）對稱思想在平面解析幾何中的應用 在平面解析幾何中所研究的對稱是狹義對稱中的幾何對稱。 平面解析幾何是通過一種代數的方法來研究點與點、點與線、線與線的關系，比如通過兩點的坐標來求兩點間的距離，圓上一點與直線距離等等，解析幾何是以強大的代數運算為基礎，突出了代數的數學化和運算化。中學階段平面解析幾何的大致結構包括：直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線。它們的解析式，它們的具體性質，它們相互之間的關系也就是我們中學所要學習的內容。先看一個實例：一條筆直的小河同側有兩個村莊、問在河上何處建造一個抽水機泵房，使這個泵房到、兩村架設的管道最短我們知道，兩點之間線段最短，只要找出（或）關于小河的對稱點3（或）連接（或）與小河的交點即為所找的建造泵房的位置，這就是生活中關于對稱問題的應用。1 點關于點的對稱點的求法設點關于點的對稱點為，由中點坐標公式、解得、因此有點關于點的對稱點坐標為2 點關于直線的對稱點的求法（1）點關于 軸、 軸、原點、直線、直線、直線、直線的對稱點分別為、、（2）點關于直線的對稱點的坐標為；點關于直線的對稱點的坐標為 4 曲線關于點的對稱曲線的求法 曲線關于點的對稱曲線的方程為：特別地，關于原點對稱曲線方程為 曲線關于直線的對稱曲線的求法曲線關于直線的對稱曲線為曲線關于直線的對稱曲線為例一：已知點關于原點的對稱點為求點關于軸的對稱點關于軸的對稱點關于直線的對稱點解：因為點關于原點的對稱點為所以點的坐標為,故點關于軸、軸、直線的對稱點分別為、例二：求點關于直線的對稱點的坐標。分析：兩點、關于直線對稱，即為垂足為線段的中點。解：設對稱點為，∵直線的斜率存在且不為0；∴直線AB 的斜率存在。5 ，即①又∵中點（垂足）在直線上；則有②。將①②聯立解得:∴對稱點為例三：求直線關于點的對稱直線。解：設對稱直線上的點坐標為則它關于的對稱點為該點在上，得，即 例四：求直線關于的對稱直線方程。解法一：，解得：對稱直線過，在上取點則關于的對稱點在上，易得用兩點式可算出為： 6解法二：設為對稱直線上任一點坐標為，關于的對稱點，用、表、可得： 代入即可求得。例五：求圓，關于的對稱圓的方程。分析：只要求出圓心關于的對稱點，即為對稱圓的圓心，半徑不變，方可寫出圓的方程。解：設圓心關于的對稱點為；∵直線的斜率，∴直線的斜率存在；∴即①又∵中點（垂足）在直線上，則有② 7將①②聯立，解得即對稱圓的圓心為故所求圓的方程為：以上示例說明，無論是求曲線關于直線的對稱方程，還是解答涉及對稱性的最值問題，關健在于掌握點關于直線的對稱點的求法。在幾何中，我們利用數學中的對稱性，建立適當的坐標系，可以使運算簡單，所得的曲線曲面的方程簡潔明了。比如橢圓 (如下圖) :(圖1：任意建立坐標系，圖2：取兩定點、所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系)比較之下，我們發(fā)現：圖1讓我們漫無頭緒，圖2中，我們看到圖形的對稱美，萌發(fā)了解題的思路。設、 、為橢圓上的任意 8一點，由定義可以得到曲線的方程。在三維立體空間中，我們將圖2 中的橢圓繞軸旋轉，得到長形旋轉橢球面。而在方程中保留坐標軸不變，用代替，便得橢圓繞軸旋轉的曲面方程：。由此可見，數學中的對稱性不僅推動了數學的發(fā)展，而且使數與形結合得更緊密。例六：已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于該直線對稱。 解：設橢圓上關于直線對稱的兩點為、其所在直線方程，代入橢圓方程并整理，得： ①由于 、是曲線上不同的兩點，因為 解得： ②另一方面，、 是①的兩跟，由韋達定理有 9而點 又在直線上，將②代入上式，得的取值范圍是例七：平面上向量滿足，求中點的軌跡方程。分析：此題有多種解法，但如果能利用對稱這一條件進行對稱變換，此題可得到簡便解答。由條件，如圖，是長為的線段的中點，軸，且，在軸上取點，則易知,于是題設對稱地轉換為“求到定點的距離之和為定長的動點的軌跡方程”，如圖，不難知道點的軌跡是以為焦點，長軸長是的橢圓，其方程為 10 反思：此題中，
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