極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文(存儲版)
【正文】 ? 0lim ( )xxf x B? ? 1：兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或差的極限等于極限和的或積或差。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項的和（或積）為有限項。 例 5：求下列函數(shù)的極限 (1) 23lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nnn x x x x? ? ? ????????????? (2) 22lim(1 )mm nm?? ? 解 ： (1) 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nx x x x 231 c os c os c os c os si n2 2 2 2 2si n 2 nnnx x x x xx? 1 sin2 sin 2n n xx? 23lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nn x x x x?? 1 si n si nl im si n2 si n l im 2 si n22n nnnnnxxxxx x????? ? ? 230lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nxn x x x x? ? ?????????????0 sinlim 1x xx??? （ 2） 2 2 2 22 2 22 2 2( ) ( ) 02 2 2l im ( 1 ) l im ( 1 ) l im ( 1 ) 1m n m nmm mn m nm m mn n n em m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 例 6：xxx ?? ?? sinlim 解：令 t= x?? .則 sinx=sin( ?? t)=sint, 且當(dāng) ??x 時 0?t 故 1sinsin limlim0 ??? ?? ttxxtx ?? 例 7：求 ? ?1 1sin 21lim ? ?? xxx 解：原式 = ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 21 1s i n111 1s i n1 22121 l i ml i m ???????? ???? xxxxx xxxx 例 8: 求 xx x10 )21(lim ??的極限 解：原式 = 221210 )21()21(lim exxxxx ????????? ?? 利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。 例 11： 求01limln(1 )xxx x? ? 解 ：令 lnyu? , 1(1 )xux?? 因為 lnu 在點0 1lim ln(1 ) xxuex??? ? ? 處連續(xù) 所以 1limln(1 )xx x?? ? 1ln[lim(1 ) ]xx x???? lne? 1? 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。 例 13： (1)求 430 3lim(sin )2xxxx?? 解 ： 由 sin2x ～ 2x 4 3 4 33003lim lim 8()2 8xxx x x xxx??????? (2)求30 sin sintanlim x xxx ??的極限 解：由 ).c os1(c oss ins inta n xxxxx ??? 而 )0(,~sin ?xx ； ,2~cos1 2xx? （ x 0? ）； 33sin xx ? 3~ x , （ x 0? ） . 故有30 sin sintanlim x xxx ??= lim0?x 212cos132??? xxxx 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用 的 等價無窮小量，如：由于 1sinlim0 ?? xxx，故有 xsin ).0(,~ ?xx 又由于 ,1arctanlim0 ?? xxx故有 arctanx x~ ， (x 0? ). 另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。39。 當(dāng))( )(lim 39。)(39。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計算上就會更方便些，故 令 ,xt? 當(dāng) ??0x 時有 ??0t ，于是有 lim0??x xex?1 = 111 limlim 00 ????? ?? ?? tttt eet 利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù) ()fx。 所以求極限時，首先觀察數(shù)列或函數(shù)的形式．選擇適當(dāng)方法，只有方法得當(dāng)，才能準(zhǔn)確、快速、靈活的求解極限。 例 22： 求 11lim lnxxxxx?? 解 ：令 1xtx?? 則 ln ln( 1)xt?? 1 0 011l i m l i m l i m 1l n( 1 )l n l n( 1 )xx t txt tx x t t? ? ?? ? ? ??? 3 結(jié) 論 本文主要歸納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法 ,以上只是眾多求解極限方法 的一小部分，或許并不全面，大家如有興趣可以繼 續(xù)探索新的求解方法。 xg 在 0x 的某鄰域內(nèi)必須滿足上述定理的條件。 )(39。 應(yīng)用洛必達法則，要分別求分子，分母的倒數(shù)，而不是求整個分式的倒數(shù)?，F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛必達法則。 等價無窮小量：當(dāng) 1yz?時，稱 ,yz是等價無窮小量：記為 y ～ z 在求極限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。如果 ()u gx? 在點 0x 連續(xù) 00()gx ?? ,而()yf?? 在點 0x 連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) ( ( ))y f g x? 在點 0x 連續(xù)。39。 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算。根據(jù)定理 {}ny 有極限，而且極限唯一。 2 極限的求法 利用兩個準(zhǔn)則求極限 (1)函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則） ： 若一正整數(shù) N,當(dāng) nN 時，有 n n nx y z?? ， 且lim limnnxxx y a?? ????則有 lim nx ya?? ? . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從 nx 的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同
研究報告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1