極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-wenkub.com
2025-05-13 08:59 本頁面
【正文】 因?yàn)閿?shù)學(xué)知識博大精深，我們目前只接觸到一點(diǎn)點(diǎn)而已，我們應(yīng)不停的接受知識，雖 然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對數(shù)學(xué)的喜愛與學(xué)習(xí) 。 泰勒展開式：若 ()fx在 0x? 點(diǎn)有直到 1n? 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,那? ? ? ?///2 ( ) ( )( 0 ) ( 0 ) ( )2 ! !n n nf x f xf x f f x x x R xn? ? ? ? ? ? ( 1) 1()()( 1)!n nn fR x xn ?? ??? ? ?01??? 例 21：求 2240coslim xxxex ??? 解 ：泰勒展開式 24 5c o s 1 0 ( )2 2 4xxxx? ? ? ? 2 24 52 1 0 ( )2 1 2x xxex? ? ? ? ? 于是 2 4 52c o s 0 ( )12x xx e x?? ? ? ? 所以2 4 5244000( )c os 112li m li m12xxxx xxexx?????? ? ? ? 換元法求極限 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。把所求極限的和式表 示成 ()fx在某區(qū)間 ? ?,ab 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 xf 和 )(39。 xgxf 仍是 00 型的不定式極限，只要有可能，我們可再次利用洛比達(dá)法則，即考察極限 lim0xx? )(39。xgxf =lim??x xx x 2sectan2 sin? = lim??x 212cos3 ?x 故 由洛比達(dá)法則求得， lim0xx? )()(xgxf =lim0xx? )(39。39。 注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 要注意條件 ，也就是說，在沒有化為 ??,00 時(shí)不可求導(dǎo)。39。我們把兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作00型或??型的不定式極限。如上 式 中 ， 若 因 有 tanx x~ ， )。 定理 3 如果函數(shù) 11( ), ( ), ( ), ( )f x g x f x g x都是 0xx? 時(shí)的無窮小，且 )(xf ～ )(1xf ，)(xg ～ )(1xg ，則當(dāng)011()lim ()xxfxgx?存在時(shí) ，0()lim ()xxfxgx?也存在且等于011()lim ()xxfxgx?， 即)( )(lim0 xg xfxx?=)( )(lim 110 xg xfxx?。如果0lim ( ) 0xxfx? ?, ()gx 在某區(qū)間 0 0 0 0( , ), ( , )x x x x????有界，那么0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界和 另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例 10： 21si n , 0()1 , 0xxfx xxx? ??? ????? 求 ()fx在 0x? 的左右極限 解 ：01lim sin 1n x x?? ?? 01lim sin 1n x x?? ?? 00lim ( ) lim ( ) 1nnf x f x?????? 0lim ( ) 1x fx? ? 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 即：)()](l i m[))((l i m)()(l i m)]([)()()(l i m)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx??????????????處連續(xù)，則在且是復(fù)合函數(shù)，又若處連續(xù)，則在若 這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。 例 4： 求 2lim ( ) 22x x ctg x? ?? ?? 解 ：取 ( ) 2f x tg x? ， 則 22211l i m ( ) 222 l i m 2 ( 2 )2l i m22xxxx c t g x t g xt g x t gxx??????????? ? ? ????? 22( ) ( ) 1 1 12l im 2() ( 2 se c 2 )22 2xf x fxf xx???? ???? ? ? ??? ? 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)極限公式 1sinlim)(0 ?? xxAx exB xx ???? )11(lim)( 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： ))((,))(11lim ()()0)((,1)( )(s inlim)()(39。 例 3： 求極限 (1) 221lim 21x xxx? ?? (2) 312lim 3xxx???? (3) 31 13lim ( )11x xx?? ??? (4) 已知 1 1 11 2 2 3 ( 1 )nx nn? ? ? ?? ? ? ?， 求 limnn x?? 解 ： (1) 221 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 1 2l im l im l im2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) 2 1 3x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? (2) 3 3 31 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 3 1l im l im l im34( 3 ) ( 1 2 ) ( 3 ) ( 1 2 )x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? (3) 31 13lim ( )11x xx?? ??? 23 2 21 1 12 ( 1 ) ( 2 ) 2l im l im l im 11 ( 1 ) ( 1 ) 1x x xx x x x xx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (4) 因?yàn)? 1 1 11 2 2 3 ( 1 )nx nn? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 1 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???11 n?? 所以 1lim lim (1 ) 1nnnx n? ? ? ?? ? ? 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù) ()fx在 0x 附近有定義， x?
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