數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-求方程的近似解方法及比較分析-wenkub.com
2024-08-29 11:41 本頁面
【正文】 謹(jǐn)以此文獻(xiàn)給所有關(guān)心我、支持我、幫助我的老師、親人和朋友們。感謝王老師在生活上和學(xué)習(xí)上的關(guān)心，為我創(chuàng)造了良好 的學(xué)習(xí)和研究氛圍，使我能夠順利完成學(xué)業(yè)。 LU 分解其實(shí)與高斯消去法在原理上是等價(jià)的，高斯消去法的運(yùn)算量為：N^3/3+N^2N/3；而 LU分解法的運(yùn)算量為： N^3/3+ N^2/2+N/6，兩者運(yùn)算量之差為： N(N1)/2，所以在 N比較大 的情況下， LU分解法的計(jì)算的速度就很可能比高斯消去法快很多。因而在計(jì)算多個(gè)系數(shù)矩陣為 A 而右端不同的線性方程組系是，用 LU 分解法更為簡(jiǎn)便。 如果那一列的所有元素都為 0，則說明該方程組解不唯一。 直接三角分解法 解題步驟： 將方程組改寫為 = 設(shè) = 第一步有： 第二步有： 第三步有： 第四步有 ： 于是有 L= U= 由 Ly=b 得 y， 由 Ux=y 得 x= 高斯列主元消去法 12 解題步驟 ： 對(duì)線性方程組： Ax=b ； 令增廣矩陣為：= =( )…… ○ 1 消元過程： 令 = ，把 ○ 1 式的增廣矩陣中的第 1 行的 倍依次加到該增廣矩陣的第 i（ i1）行，則第 i(i1)行第 j 列位置的元素為： )1(1)1(11)1(1)1()1(11)1()2( jiijiiijij aaaaalaa ???? （ i， j=2,3,4…… ,n） )1(1)1(11)1(1)1(1)1(11)1()2( baabblbb iiii ???? (i=2,3,…… ,n) 因此， ○ 1 式可轉(zhuǎn)化為： = =??????????????)2()2()2(2)2()2(2)2(22)1()1(1)1(12)1(11...0::::...0...nnnnnnnnbaabaabaaa …… ○ 2 依次做下去，一直做到第 n1 步，即有 ???????????????????????????)()()1(1)1(,1)1(1,1)2(3)2(2)2(,2)2(1,2)2(22)1(1)1(1)1(1,1)1(12)1(11)()()(00::...0...]:[nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabaabbaaabaaaabAA)1()1( bxA ? 化為 )()( nn bxA ? 回代求 解： （ k=n1， n2， … ..,2,1） 三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較 迭代法 具有循環(huán)的計(jì)算式，方法簡(jiǎn)單，程序?qū)崿F(xiàn)方便，能充分利用系數(shù)的稀疏性，適宜解大型稀疏矩陣方程組。 例：用三種方法求解方程組 的解。 重復(fù)上述過程，設(shè)已完成第 k1 步的選主元素，交換兩行及消元過程后 (A B)已約化為 第 k 步選主元素，在 右下角方陣的第一列內(nèi)選取絕對(duì)值最大的元素 作為這一列 的主元 ,即 = 然后交換 的第 i行與第 k 行，再進(jìn)行消元計(jì)算。 設(shè) A為非奇異矩陣，且有分解式 A=LU，其中 L為單位下三角矩陣， U 為單位上三角矩陣， A= 第一步，用 L的第一行分別乘以 U 的第 j(j=1,2,… ,n)列，比較兩邊可得
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