數(shù)學(xué)中的變換--幾種常見變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用-wenkub.com
2024-08-29 11:41 本頁面
【正文】 收集該文只是在映射中對(duì)應(yīng)元素之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，元素與元素之間的對(duì)應(yīng)就涉及到變換，了解變換的應(yīng)用就成了一項(xiàng)重要內(nèi)容。 1, , , nnF x x F x F x F x F F x?? ? ?，則 n 叫做 ? ?nFx關(guān)于 ??Fx的迭代指數(shù)。 39。 39。330 0 40 2 0 , 4100xxxx???? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 橢圓的方程可改寫為 ? ? 11 2 3 239 0 0, , 0 4 0 00 0 36xx x x xx? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 把變換式代入得 ? ?39。2239。 39。 39。3,T T T TSS???????? ? ??????? 即 39。3,T T T TSS???????? ? ??????? 的解 . 18 解方程組 ? ? 11 2 1 2 23,T T T T???????? ? ? ? ??????? 即 1232 2 0 00 0 3 31 1 1 1????? ?? ? ? ?? ?? ? ? ???? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 可得 1 2 31。 39。 39。1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, , , ,T T T T T T? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. （二）射影變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 17 例 1 求一射影變換 ,使橢圓 22149xy??變?yōu)殡p曲線 22149xy??. 解 ：雙曲線 22149xy??與無窮遠(yuǎn)直線的交點(diǎn)為 ? ? ? ?122 , 3, 0 , 2 , 3, 0SS ?. （圖 3） 如圖 3 所示：設(shè) 1? 對(duì)應(yīng) 1? ， 2? 對(duì)應(yīng) 2? ， 1? 對(duì)應(yīng) 1S ， 2? 對(duì)應(yīng) 2S .若39。 39。 39。 39。 39。1 1 139。3 3 3000000? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? 可得： 39。 39。 39。139。 39。 39。139。1 2 3 2 1 2 3300, , 0 0 , ,00T T T T T T???????? ? ? ? ? ? ? ??? （ 5） 設(shè)關(guān)于 1 2 3,? ? ? 的方程組： ? ? 11 2 3 2 43,T T T T???????? ? ? ? ??????? （ 6） 因?yàn)辄c(diǎn) 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 無三點(diǎn)共線，所以方程組（ 6）有唯一的一組解： ? ?0, 1, 2,3j j? ??. 同理關(guān)于 39。3 3 3TT?? ??? （ 3） 39。2239。1 2 3 2 439。 39。Ti? 為 Ti? 的轉(zhuǎn)置矩陣 , 4? 為一定常數(shù)。33:xxxx???? ???? ?????? ?????? ????， ? ? ? ?39。 1, 2 , 3, 4ii i? ? ? ? ? 。 39。1 1 2 3 2 1 2 3 3, , , , , ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? 39。 39。 39。 [5] 兩個(gè)平面間的一一對(duì)應(yīng)，如果滿足下列條件： （ 1）保持點(diǎn)和直線的結(jié)合性。 39。 39。2? 39。12 42PP? ， 又因?yàn)? 39。122 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2PP ?。5xxyy? ????? ???把橢圓 2219 25xy??變成圓 2239。?? y 39。 39。 39。x y a??. 如圖 1： （圖 1） 在仿射變換下 ? 39。 解：設(shè)在笛氏直角坐標(biāo)系下的橢圓的方程為 221xyab?? 經(jīng)過仿射變換 39。39。 例 求一個(gè)仿射變換將圓 221xy??變?yōu)橐粋€(gè)橢圓。39。 （ 3）仿射變換把平行直線變成平行直線。 解 :我們知道 0xy??的法向量為 ? ?1,1n? ，單位向量為 11,22??????，取此方向?yàn)樽儞Q后的 U 軸，另取 V 軸，使其與 U 軸正交，如取 11,22V ???????? 則這兩個(gè)向量可構(gòu)成正交矩陣 10 11221122?????? ????? . 作正交變換 uxvy? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 即 11221122Tx u uy v v????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? 1 1 1 1,.2 2 2 2x u v y u v? ? ? ? 則 ? ? 2 22 , 2 .2x y u x y u? ? ? ? 那么求 ? ? ? ?2, sinf x y x y??在 ? ?0,0 點(diǎn)的 Tarlor 展式變成 ? ? 2sin 2f u u?在 0u? 的 Tarlor 展式 . 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 5 2 12 2 2122213 5 2 12 2 1212 2 2s in 2 2 1 ,3 ! 5 ! 2 1 !s in 1 .3 ! 5 ! 2 1 !nnnnnnu u uu u R xnx y x y x yx y x y R xn??????? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 二、 仿射變換 （一）仿射變換的定義及其性質(zhì) [5]1 若兩個(gè)平面間（平面到自身）的一個(gè)點(diǎn)變換保持同素性，結(jié)合性和共線三點(diǎn)的單比不變，則這個(gè)點(diǎn)變換稱為仿射變換 . 11 [5]2 平面上點(diǎn)之間的一 個(gè)線性變換 1 1 1 2 1 31 1 1 22 1 2 22 1 2 2 2 339。u u uw w wu v wu v w?????? 8 則 ? ?? ?2222c o s 1 s in,1, s in 1 c o s1u uvw u uuuw uu????? ??? ?? ? ??? ?? 同樣可以算得： ? ?? ? ? ?? ?22,1 c o s , 1 s i nw u u vuuu w u w????? ? ? ? . 所以： ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2, 1 c os si n 1 1u w u u u u??? ? ? ? ? ? ? ? ?. 故 ? ?,ds u w dudw? 其中 D 在 uw 平面上 . 再把曲面積分化為二重積分得： ? ? ? ?? ? ? ?2 2 2 2 2 21 2 12 2 2 2 2 21 0 1Df a b c u d s f a b c u d u d wf a b c u d u d w f a b c u d u???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? . 所以： ? ? ? ? ? ?12 2 2 2 2 212D f a b c u d u d w f a b c u d u f a x b y c z d s? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? 則有 ? ? ? ?1 2 2 212f a x b y c z d s f a b c u d u? ?? ? ? ? ???? ?. Tarlor 公式中的應(yīng)用 正交變換不僅在高等代數(shù)中起著重要的作用，在其他數(shù)學(xué)分支中也起著獨(dú)到的作用。 39。???? ，而 ? ?? ? 39。 證明 :設(shè) ? ?,abc 為三維空間的 1個(gè)向量 ,單位化得： ,a b ckkk??????,再將其擴(kuò)充為三維空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基 ,設(shè)為 ? ? ? ?1 1 1 2 , 2 2, , , , , , ,a b ca b c a b c kkk??????. 作正交變換 : uxvywz? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ?
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