數(shù)學(xué)中的變換--幾種常見變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用-在線瀏覽
2024-11-05 11:41本頁面
【正文】 a x b y c z d s f a b c u d u? ?? ? ? ? ???? ?. Tarlor 公式中的應(yīng)用 正交變換不僅在高等代數(shù)中起著重要的作用，在其他數(shù)學(xué)分支中也起著獨到的作用。 多元 Tarlor 公式是指：若函數(shù) ? ?12, , , nf x x x 在 ? ?0 0 00 1 2, , , nP x x x的某鄰域 ? ?0UP 內(nèi)具有直到 1n? 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對 ? ?0UP 內(nèi)的任一點? ?0 0 01 1 2 2, , , nnx h x h x h? ? ?， 有 ? ? ? ?0 0 0 0 0 01 1 2 2 1 2, , , , , ,n n nf x h x h x h f x x x? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?0 0 01 2 1 2 1 21 2 1 210 0 0 0 0 01 2 1 2 1 1 2 212[ 4 ]1, , ,!1, , , , , , ,1!0 1 .nn n nnnnn n n nnh h h f x x x h h hx x x n x x xf x x x h h h f x h x h x hn x x x? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????定理 [3]1 在正交變換 YX?? 下有 ? ? ? ?f X f Y???，那么函數(shù) ? ?fX在 點 ? ?0 0 00 1 2, , , nP x x x的值等于 ? ?fY?? 在點 ? ?0 0 00 1 2, , , nW y y y的 值，其中 0W 由 變換 YX?? 所對應(yīng)的方程組在 X 取值 0P 時所唯一確定的值 . 定理 [3]2 若 ? ?12, , , nf x x x 在點 0P 的某鄰城 ? ?0UP有直 到 1n? 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在正交變換后， ? ?TfY? 在點 0W 的鄰城 ? ?0VQ也有 1n? 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其中 ? ?0VQ是在 YX?? 變換下 ? ?0UP所對應(yīng) 的鄰城 . 這兩個定理的結(jié)論是顯而易見的，有這兩個定理作保證，在求多元函數(shù) Tarlor 公式時，就可以大膽使用正交變換，我們得到變換后的Tarlor 公式后，若想回到原變量，只需要在公式中作逆變換即可。 解 :我們知道 0xy??的法向量為 ? ?1,1n? ，單位向量為 11,22??????，取此方向為變換后的 U 軸，另取 V 軸，使其與 U 軸正交，如取 11,22V ???????? 則這兩個向量可構(gòu)成正交矩陣 10 11221122?????? ????? . 作正交變換 uxvy? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 即 11221122Tx u uy v v????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? 1 1 1 1,.2 2 2 2x u v y u v? ? ? ? 則 ? ? 2 22 , 2 .2x y u x y u? ? ? ? 那么求 ? ? ? ?2, sinf x y x y??在 ? ?0,0 點的 Tarlor 展式變成 ? ? 2sin 2f u u?在 0u? 的 Tarlor 展式 . 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 5 2 12 2 2122213 5 2 12 2 1212 2 2s in 2 2 1 ,3 ! 5 ! 2 1 !s in 1 .3 ! 5 ! 2 1 !nnnnnnu u uu u R xnx y x y x yx y x y R xn??????? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 二、 仿射變換 （一）仿射變換的定義及其性質(zhì) [5]1 若兩個平面間（平面到自身）的一個點變換保持同素性，結(jié)合性和共線三點的單比不變，則這個點變換稱為仿射變換 . 11 [5]2 平面上點之間的一 個線性變換 1 1 1 2 1 31 1 1 22 1 2 22 1 2 2 2 339。x a x a y a aaaay a x a y a? ? ???? ? ???? ? ?? 叫做仿射變換 . ： （ 1）仿射變換把直線變成直線，并且保持共線三點的介于關(guān)系。 （ 3）仿射變換把平行直線變成平行直線。 （二）仿射變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 例 求一個仿射變換將橢圓 221xyab??變成一個圓。39。 39。 例 求一個仿射變換將圓 221xy??變?yōu)橐粋€橢圓。 , 39。39。39。 解：設(shè)在笛氏直角坐標(biāo)系下的橢圓的方程為 221xyab?? 經(jīng)過仿射變換 39。xxayyb???? ??? 其對應(yīng)圖形為圓 2 2 239。x y a??. 如圖 1： （圖 1） 在仿射變換下 ? 39。,?? 39。 39。??? ，其中39。 39。T SSSS??? ???? 所以 O OO B 39。?? y 39。 解：如圖 2： （圖 2） 仿射變換439。5xxyy? ????? ???把橢圓 2219 25xy??變成圓 2239。 16xy??，相應(yīng)的點123 5 3 52 , 2 , 2 , 22 2 2 2PP? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?分別變?yōu)?? ? ? ?39。122 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2PP ?。? 中 39。12 42PP? ， 又因為 39。122 2 22s in42PPR? ? ? ?， 所以 4??? 圓 39。2? 39。 39。 39。 39。 39。 三、射影變換 （一）射影變換的定義 二次曲線是射影幾何的重要組成部分 ,二次曲線分為拋物線、雙曲線和橢圓。 [5] 兩個平面間的一一對應(yīng)，如果滿足下列條件： （ 1）保持點和直線的結(jié)合性。 （ 3）在（ 2）中如果兩對應(yīng)平面是重合的，則所建立的射影對應(yīng)叫做該平面的射影變換。 39。 39。 39。 39。1 1 2 3 2 1 2 3 3, , , , , ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? 39。12,?? ?39。 39。 39。 1, 2 , 3, 4ii i? ? ? ? ? 。1139。33:xxxx???? ???? ?????? ?????? ????， ? ? ? ?39。 39。Ti? 為 Ti? 的轉(zhuǎn)置矩陣 , 4? 為一定常數(shù)。, , 1,2,3jjj?? ? ，由 ? ? 11 2 3 2 43,T T T T???????? ? ? ? ??????? 和 ? ?39。 39。 39。1 2 3 2 439。 [6] 證明：設(shè)39。2239。1 1 1TT?? ??? （ 1） 39。3 3 3TT?? ??? （ 3） 39。 39。1 2 3 2 1 2 3300, , 0 0 , ,00T T T T T T???????? ? ? ? ? ? ? ??? （ 5） 設(shè)關(guān)于 1 2 3,? ? ? 的方程組： ? ? 11 2 3 2 43,T T T T???????? ? ? ? ??????? （ 6） 因為點 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 無三點共線，所以方程組（ 6）有唯一的一組解： ? ?0, 1, 2,3j j? ??. 同理關(guān)于 39。 39。139。 39。 39。3,T T T T???????? ? ? ? ??????? （ 7） 有唯一一組解： ? ?39。 39。 39。139。 39。 39。3,T T T T?? ? ??????? ? ? ? ? ?????? （ 9） 從而比較（ 8）式、（ 9）式，因矩陣 ?
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