數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-求方程的近似解方法及比較分析-在線瀏覽
2024-11-05 11:41本頁(yè)面
【正文】 ijkjijijkjijiiikiTnxaxabaxxxxX （ k=0,1,2， …… :i=1,2,3,…… ..n） 雅克比方法是求對(duì)稱矩陣的全部特征值以及相應(yīng)的特征向量的一種方法，它是基于以下兩個(gè)結(jié)論： 1)任何實(shí)對(duì)稱矩陣 A 可以通過(guò)正交相似變換成對(duì)角型，即存在正交矩陣 Q，使得 AQ=diag( ) 其中 i（ i=1,2,… ,n）是 A的特征值， Q中各列為相應(yīng)的特征向量。即設(shè) ， Q 為 交 7 矩陣，記 B= AQ= ,則 雅克比方法的基本思想： 是通過(guò)一次正交變換，將 A中的一對(duì)非 0的非對(duì)角 線 化成 0，并且使得非對(duì)角元素的平方和減小。 直接三角分解法 矩陣直接三角分解法： 是高斯消去法的變形方 法。高斯消去法解線性方程組先消元，然后再回代。因此，高斯消去法與矩陣的 LU分解是一致的。 設(shè) A為非奇異矩陣，且有分解式 A=LU，其中 L為單位下三角矩陣， U 為單位上三角矩陣， A= 第一步，用 L的第一行分別乘以 U 的第 j(j=1,2,… ,n)列，比較兩邊可得 (j=1,2,… ,n) 分別用 L 的第 i(i=1,2,… ,n)行乘 U 的第一列，比較可得 (i=1,2,… ,n) 即得 (i=1,2,… ,n) 這樣就求出了 L的第一 列和 U的第一行的所有元素。 第 k步，用 L的第 k 行分別乘 U的第 j(j=k,k+1,… ,n)列，比較兩邊可得：= +… + + (j=k,k+1,… ,n) 8 分別用 L的第 i(i=k+1,… ,n)行乘 U的第 k 列，比較兩邊可得： = +… + + (i=k+1,… ,n) 總結(jié)上述討論，得到用直接三角分解法求解 Ax=b 的計(jì)算公式： (j=1,2,… ,n), (i=2,3,… ,n) (j=k,k+1,… ,n) (i=k+1,k+2,… ,n) 及求解 Ly=b,Ux=y 的計(jì)算公式： (k=2,3,… ,n) ， (k=n1,n2,… ,2,1) 高斯列主元消去法 高斯順序消去法的基本思想是： 對(duì)線性代數(shù)方程組所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣（ A|b）進(jìn)行一系列“把某一行的非零常數(shù)倍加到另一行上”的初等變換，使得（ A|b）中 A 的對(duì)角線一下的元素全變?yōu)?0，從而使原方程組等價(jià)的轉(zhuǎn)化為容易求解的上三角形線性代數(shù)方程組，再通過(guò)回代得到上三角形線性代數(shù)方程組的解，即可求得原方程組的解。 重復(fù)上述過(guò)程，設(shè)已完成第 k1 步的選主元素，交換兩行及消元過(guò)程后 (A B)已約化為 第 k 步選主元素，在 右下角方陣的第一列內(nèi)選取絕對(duì)值最大的元素 作為這一列 的主元 ,即 = 然后交換 的第 i行與第 k 行，再進(jìn)行消元計(jì)算。 10 第三章 三種方法求解方程組實(shí)例 線性代數(shù)方程組的應(yīng)用十 分廣泛，在實(shí)際生活中遇到的一些問(wèn)題通?？梢杂们蠼夥匠探M的方法來(lái)解決。 例：用三種方法求解方程組 的解。 反復(fù)利用這個(gè)計(jì)算程序，得到一個(gè)向量序列和一般的計(jì)算公式： =B +f 其中 k表示迭代次數(shù)（ k=1,2,… ）。 直接三角分解法 解題步驟： 將方程組改寫(xiě)為 = 設(shè) = 第一步有： 第二步有： 第三步有： 第四步有 ： 于是有 L= U= 由 Ly=b 得 y， 由 Ux=y 得 x= 高斯列主元消去法 12 解題步驟 ： 對(duì)線性方程組： Ax=b ； 令增廣矩陣為：= =( )…… ○ 1 消元過(guò)程： 令 = ，把 ○ 1 式的增廣矩陣中的第 1 行的 倍依次加到
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