【正文】 整數(shù)最小原理”，即“任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來驗證數(shù)學(xué)歸納法是否正確。 后來因為把 0 也作為自然數(shù)，所以公理中的 1要換成 0 。 ba? 一定能推得 ba? (5)任意一個自然數(shù)的集合，如果包含 1，并且假設(shè)包含 a ，也一定包含 a 的隨從 39。1 a? (4)一個數(shù)只能是某一個數(shù)的隨從，或者根本不是隨從，即由 39。a ， 39。事實上，數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個簡單原理。 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法概念 數(shù)學(xué)歸納法概念 : 數(shù)學(xué)歸納法是 數(shù)學(xué)上證明與 正整數(shù) N 有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與 正整數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)問題 。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。枚舉歸納法是以某個對象的多次重復(fù)作為判斷根據(jù)的歸納方法；因果歸納法歸納法是把一類事物中部分對象的因果關(guān)系作為判斷的前提而做出一般性猜想的方法 [2]。因而學(xué)會用不完全歸納法對問題進(jìn)行探索，對提高數(shù)學(xué)能力十分重要。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納法和完全歸納法 [2]。因此，演繹法是一種必然的推理，它是一種嚴(yán)格的邏輯證明方法。 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 3 2 數(shù)學(xué)歸納法的概述 常用數(shù)學(xué)證明方法 數(shù)學(xué)是一門非常注重學(xué)習(xí)方法的學(xué)科 ,而數(shù)學(xué)的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓盡致，數(shù)學(xué)中研究問題的方法一般有以下分類： 演繹法 演繹法是從一般性原理得出特殊結(jié)論的推理方法，即從一般到特殊的推理方法。 但真正比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（ F. Maurolycus, 1494 1575），真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是17 世紀(jì) 的數(shù)學(xué)家帕斯卡 ( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來。．盡管如此，他仍為數(shù)學(xué)歸納法的確定奠定了一定的基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用在證明下列命題：與自然數(shù) n 有關(guān) 的恒等式、不等式、數(shù)列、幾何、整除性、計數(shù)、矩陣等等。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或 0nn? 且 Nn? ）結(jié)論都正確”。 引言 數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法。我想如果能夠?qū)W(xué)生們講清楚數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)和由來，可以使學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)歸納法和它的運用，在用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時，當(dāng)然我們會知道這個恒等式肯定是正確的，那么它又是如何被前人計算出來的呢，數(shù)學(xué)歸納法只是證明這個等式的正確性而不能求解，可見 數(shù)學(xué)歸納法也有著自己的限制和適用范圍，那么在這個等式的成立過程中數(shù)學(xué)歸納法到底扮演一個什么樣的角色呢。數(shù)學(xué)歸納法是一種重要且獨特的證明方法 ,對與自然數(shù) n 有關(guān)的命題證明是可行有效的，它使學(xué)生了解一種“化無限為有限”的辯證思維方法，而且它又不是那么直觀易懂的，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的過程中，總會產(chǎn)生一個這樣的疑問，在用數(shù)學(xué)歸納法證明表達(dá)式中，證明三步驟是不是真的完整呢， )(kp 真僅是純粹的假設(shè) ,一旦不真 ,用它去推真， 豈不是“無稽之談”，即使推出 )1(?kp 真能保證 )(np 真嗎？如果讓學(xué)生帶著這種疑問去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法肯定會影響他們的學(xué)習(xí)情感的。 關(guān)鍵詞 ：歸納法，數(shù)學(xué)歸納法，證明 II the Application of Mathematical Induction ABSTRACT Mathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in the higher mathematics study and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. Mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set mathematical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and bination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly bined with junior high school textbooks to detailed mathematical induction method in middle school mathematics and application in advanced mathematics. To use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use inductive hypothesis, using the induction hypothesis launch a guess that the most important. Finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering induction guess proof the discovery of thinking method. KEY WORDS: induction method, mathematical induction, proof III 目 錄 1 緒論 ................................................................... 1 引言 ............................................................. 1 數(shù)學(xué)歸納法的來源 ................................................. 1 2 數(shù)學(xué)歸納法的概述 ...................................................... 3 常用數(shù)學(xué)證明方法 ................................................ 3 演繹法 ...................................................... 3 歸納法 ...................................................... 3 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 .................................. 3 數(shù)學(xué)歸納法概念 .............................................. 3 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 ........................................ 4 數(shù)學(xué)歸納法的 其它形式 ....................................... 5 3 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 ...................................................... 6 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 ................................................. 6 三個步驟缺一不可 ................................................. 7 4 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng) 用 ................................................... 9 ........................................................ 9 4． 2 證明不等式 ..................................................... 10 4． 3 證明整除問題 ................................................... 13 證明幾何問題 ................................................... 13 行列式與矩陣的證明 .............................................. 14 5運用數(shù)學(xué)歸納法時容易出現(xiàn)的錯誤分析 .................................... 17 忽略了歸納奠定基礎(chǔ)的必要性 ...................................... 17 在第二步證 明中沒有利用歸納假設(shè) .................................. 18 6 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時的一些技巧 ............................................ 19 靈活選取“起點” ................................................ 19 恰當(dāng)選取“跨度” ............................................... 20 選取合適的假設(shè)方式 ............................................. 20 以“假設(shè) nk163。要準(zhǔn)確的運用數(shù)學(xué)歸納法，首先必須準(zhǔn)確的理解其原理和意義以及 熟練地掌握解題步驟，而在三個步驟中運用歸納假設(shè)尤為關(guān)鍵 ,運用歸納假設(shè)推出猜想最為重要。 I 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 摘 要 數(shù)學(xué)歸納法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅對我們中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著很大的幫助 ,而且在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及研究中也是一種重要的方法，數(shù)學(xué)歸納法對公式的正確性檢驗中也有著很大的應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是將無限化為有限的橋梁 ,主要探討關(guān)于自然數(shù)集的有關(guān)命題或者恒等式，數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的整除問題，恒等式證明，公理證明 ,排列和組合 ,幾何領(lǐng)域等都有著廣泛的應(yīng)用 ,這里我們主要結(jié)合初中教材來詳細(xì)列舉數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)以及在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。最后我們在通過用數(shù)學(xué)歸納法證明一些數(shù)學(xué)問題的過程中，可以更加深刻理解和掌握“歸納 —— 猜想 —— 證明”這一探索發(fā)現(xiàn)的思維方法。 時成立”代替“假設(shè) nk= 時成立” ............... 20 以“假設(shè) nk= ， 1nk=+時成立”代替“假設(shè) nk= 時成立” ...... 21 7 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用 ................................................ 23 致 謝 ................................................................... 24 參考文獻(xiàn) ................................................................ 25 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 1 1 緒論 在高中數(shù)學(xué)教科書中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)歸納法，在高中階段，學(xué)生主要是通過了解數(shù)學(xué)歸納法的證明三步驟來模仿證明其他表達(dá)式的成立，學(xué)生也往往滿足于“ k 時命題成立，那么 1?k 時命題也成立”的證明方法。當(dāng)然老師會說這是非常完整的 ,那么他們又是根據(jù)什么原理來說明自己是正確的呢。要解決這些問題都要求我們對數(shù)學(xué)歸納法有著深刻的理解。論證的第一步是證明命題在 1?n (或 0n )時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在 kn? 時命題成立，再證明 1??kn