數(shù)學(xué)歸納法(20xx教案)-展示頁
2024-08-19 16:36本頁面
【正文】 C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng)解析 1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k項(xiàng)， D3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為( )．A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3答案 C4．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得( )．A．n＝6時(shí)該命題不成立 B．n＝6時(shí)該命題成立C．n＝4時(shí)該命題不成立 D．n＝4時(shí)該命題成立解析 法一 由n＝k(k∈N*)成立，可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．現(xiàn)知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．法二 其逆否命題“若當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題不成立，則當(dāng)n＝k時(shí)也不成立”為真，故“n＝5時(shí)不成立”?“n＝4時(shí)不成立”．答案 C5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________．解析 不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案 考向一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】?用數(shù)學(xué)歸納法證明：tan αtan 2α＋tan 2αtan nα＝－n(n∈N*，n≥2)．[審題視點(diǎn)] 注意第一步驗(yàn)證的值，在第二步推理證明時(shí)要注意把假設(shè)作為已知．證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，右邊＝－2＝－2＝＝tan αtan 2α＋tan 2αtan kα＝－k，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，tan αtan 3α＋…＋tan(k－1)αtan(k＋1)α＝－k＋tan kαtan(k＋1)α－(k＋1)＝＋－(k＋1)＝－(k＋1)．這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．由(1)(2)知，對(duì)任何n∈N*且n≥2，原等式成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要注意第(1)步中驗(yàn)證n0的值，如本題要取n0＝2，在第(2)步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上正確地使用正切的差角公式．【訓(xùn)練1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的n∈N*，＋＋…＋＝.證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝，左邊＝右邊，所以等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立，即有＋＋…＋＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立．考向二 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題【例2】?是否存在正整數(shù)m使得f(n)＝(2n＋7)3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝336，f(3)＝1036，f(4)＝3436，由此猜想：m＝36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立；
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