【文章內容簡介】 不屬于 ， ， ， ， .這P34 3212P345與將 1 至 326 之間的整數任意分為 5 部分的假定相矛盾.因此，. 高等代數中的應用例 7 121221220nnnaxaxxx????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??其中 ,證明存在不全為零的整數????,0,ijaij???? ?適合nx21,2? ??njni 2,12??證明 令 ， ，??2ijnAa??122nxXx?????????????0?O則該齊次線性方程組可寫成 A設集合 S={ }njnxXjn2,1,:21???????????? D={ :X S}??????????njjnjjjjxaxaAX21211??映射 = ,因為 {1，0，1} ，所以:SDXAf?S??21n?ja1?對每個 X S，它的 2n 個分量適合? 21221nijiiinaxaxx??? 122n??8 ≤ （i=1,2, ,n）2n?因此 又??241D?? ???222()414nnn????根據抽屜原理.(映射形式設 A 和 B 是兩個有限集，如果 那么對從 A 到 B 的任何滿映AB射 f，至少存在 , ,使 f( )=f( ).）1a21a2S 中至少存在兩個不同的元 ???????????????njjjniii xxXxx221221,??使 ,即 , .??jifxf?jiA??0??ji令 ，則 即是我們所要求的， 是????????????njijinxx221221??????????n221?? n2,1??不全為零的整數，且滿足.??nkjkikjkik 2,1??????例 7. 設 為 階方陣，證明存在 1 ，使秩( )=秩( )=秩AnniiA1?i ???)(2iA證明 因為 階方陣的秩只能是 這 +1 個數之一.,2,0　　　　 ?, 的個數多于秩的個數，由抽屜原理可知，存在 ,?E120,?n? E k滿足 1 使l?kl秩( )= 秩( ),kAl但秩( ) 秩( ) … 秩( ),k?1?k?lA所以秩( )=秩( ),kA1?k9利用此式與秩的性質得秩( ) 秩( )+秩( )秩( ),ABC?BC這里的 是任意三個可乘矩陣，用數學歸納法可證BA,秩( )=秩( ).mk?1?mkA其中 為非負整數，故命題的結論成立. 秩( )=秩( )=秩 . mi1?i ???)(2iA 抽象代數中的應用例 :有限群中的每個元素的階均有限．證明 設 G 為 n 階有限群，任取 a∈G，則由抽屜原理可知 中必231,naa??有相等的．不妨設 于是有 ，從而 a 的階有限．,11stasn????ste??例 R 必是域.證明 根據魏得邦定理，只需證明 R 是除環(huán)即可.(設 是環(huán)且 ，則 R 是除環(huán)當且僅當對 R 中任意元素 ，方程R1? ba,0?ax=b 或 ya=b 在 中有解) 在 R 中任取元素 .ba,0? 考慮 ???,211 ???iRyNtt 易知， 都是 的理想.?,32 但由于整環(huán) R 只有有限個理想，根據抽屜原理. 必存在正整數 s 與 t 滿足 st. .tssRaba?? 從而存在 c∈R,使 或 .tcba?cst??)(1 即方程 ax=b 在 R 中有解 .xst? 根據定理,R 是除環(huán). 由魏得邦定理，原命題得證.抽屜原理不僅在高等數學中具有廣泛應用，在我們的實際生活中，也能處賽程安排、資源分配、職稱評定等等，都不難看到抽屜原理的作用.其實早在中國古代的春秋戰(zhàn)國時期就有了運用抽屜原理的例子，那就是《晏子春秋》中的“二桃殺三士”的典故，將兩個桃子賞賜給三名勇士，在這里可以將桃子看作抽屜，三個人作為元素放進抽屜，則根據抽屜原理，一定有一個抽屜要放入兩個或兩個以上的元素，回到問題情境中就是一定要有兩個人吃一個桃子，導致這三名勇士最后自相殘殺而亡，這就是著名的“二桃殺三士”.后來宋朝時期費袞在他的《梁谿漫志》中就曾運用抽屜原理來駁斥但是流行的“算命”一說，費袞指出算命是把一個人出生的年、月、日、時作為依據，把這些作為“抽屜” ，則不同的抽屜有 1236060＝259200 為“物品” ，則進入同一抽屜的人有成千上萬個，因此“生時同者必不為少矣”.既然“八字”相同， “又何貴賤貧富之不同也？這是大基數的社會現象，常給人感覺世事很奇巧，碰到同生日、同名的人，活中也有常見的抽屜原理的應用之處，如“搶凳子”游戲，一群人搶凳子，凳子數比人少，必然淘汰一些人,又或者是 13 個人中總有 2 人是同一個月份出生，52 張撲克牌中取出 5 張總有 2 張花色相同，在 100 米長的小路上種 101 棵小樹，不管怎么種，至少有兩棵樹苗之間的距離不超過 1 米等等. 下面我們再來看幾個例子.例 11 名學生到老師家借書，老師是書房中有 A、B、C、D 四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，型相同.證明 若學生只借一本書，則不同的類型有 A、B、C、D 四種；若學生借兩本不同類型的書，則不同的類型有 =6 種，即 AB、AC、AD、BC、BD、 1023?C種類型. 把這 10 種類型看作 10 個“抽屜”，把 11 個學生看作 11 個“物品”.那個學生借了哪種類型的書，就將其放入對應的那個抽屜里.11 根據抽屜原理， . 所以，????????例 、排球和籃球，某班 50 名同學來倉庫拿球，規(guī)定每個人至少拿 1 個球，至多拿 2 個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？解首先來看具體的拿球的配組方式，有以下9種：｛足｝ ， ｛排｝ ， ｛籃｝ ， ｛足，足｝ ， ｛排，排｝ ， ｛籃，籃｝ ， ｛足，排｝ ， ｛足，籃｝ ，｛排，籃｝. 把這9種配組方式看作9個抽屜,則根據抽屜原理，有 61950???????? 所以至少有6名同學所拿的球的種類是完全一樣的.例 5 個班，每班一支球隊在同一塊場地上進行單循環(huán)賽, 共要進行 10 場比賽. 則各隊每兩場比賽中間至少隔多少場才最公平呢？下面是隨便安排的一個賽程: 記 5 支球隊為 A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的 10 個空格中, 隨手填上 1,2,…，10, 就得到一個賽程, 即第 1 場 A 對 B, 第 2 場 B 對 C,…, 第 10 場 C 對 E. 表的右半部分是各隊每兩場比賽間相隔的場次數, 顯然這個賽程對 A, E 有利, 對 D 則不公平.答案是 .2????????n證明因 ，所以分兩種情況討論.?????????????時當 時當 12,21mnn1）當 n=2m 為偶數時，這 2m 支球隊為 0，1，2，…， （2m1）.順次安排（m+1）場比賽需要 2（m+1）支球隊參賽，由抽屜原理，必然有重復出現的球隊，由單循環(huán)賽知，場次數最多為 m2.122)當 n=