山東數學與應用數學本科畢業(yè)范文-逆矩陣及其應用(編輯修改稿)
2025-08-30 12:19 本頁面
【文章內容簡介】 征多項式 由HamiltonCaley定理知：（九）. 三角矩陣的一種求逆法定理：如果n階矩陣可逆，那么他的逆矩陣是其中例9：求上三角陣的逆矩陣.解： 由定理知：（十）. 拼接新矩陣：在可逆矩陣A的右方補加上一個單位矩陣E,在A的下方補加上一個負單位矩陣E, 再在A的右下方補加上一個零矩陣O,使其負單位矩陣E化為零矩陣, 那么原來的零矩陣O所化得的矩陣就是所要求的逆矩陣A1.例10：求矩陣的逆矩陣A1.解: 構造矩陣有： 將第一行依次乘以2，3和1，分別加到第二行、第三行和第五行，得 ： 將第二行依次乘以1和1，分別加到第三行和第四行，得 ：再將第三行依次乘以2和1，分別加到第四行、第五行、第六行，得 ：故： （十一）.和化積法 有的問題要判斷方陣之和A+B的非奇異性并求其逆矩陣，此時可將A+B直接化為（A+B）C=E,由此得A+B非奇異，且=C?；驅⒕仃囍?A+B表示為若干已知的非奇異陣之積，并可得其逆矩陣. :若=0,則EA是非奇異的，并求. 證明 且=.六：矩陣逆的應用（主要在編碼、解碼方面） 矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于利用可逆短陣的方法．先在26 個英文字母與數字間建立起一一對應，例如可以是 A B …… Y Z …… …… …… 1 2 …… 25 26若要發(fā)出信息“SEND MONEY”，使用上述代碼，則此信息的編碼是19，5，14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母E．不幸的是，這種編碼很容易被別人破譯．在一個較長的信息編碼中，人們會根據那個出現頻率最高的數值而猜出它代表的是哪個字母，比如上述編碼中出現次數最多的數值是5，人們自然會想到它代表的是字母E，因為統(tǒng)計規(guī)律告訴我們，字母E 是英文單詞中出現頻率最高的．我們可以利用矩陣乘法來對“明文”SEND MONEY 進行加密，讓其變成“密文”后再行傳送，以增加非法用戶破譯的難度，而讓合法用戶輕松解密．如果一個矩陣A的元素均為整數，而且其行列式=1，那么由 即知，的元素均為整數．我們可以利用這樣的矩陣A 來對明文加密，使加密之后的密文很難破譯．現在取 A=明文“SEND MONEY”對應的9 個數值按3 列被排成以下的矩陣 B=矩陣乘積 AB=對應著將發(fā)出去的密文編碼：43，105，81，45，118，77，49，128，93合法用戶用A1去左乘上述矩陣即可解密得到明文． 為了構造“密鑰”矩陣A ，我們可以從單位陣I 開始，有限次地使用第三類初等行變換，而且只用某行的整數倍加到另一行，當然，第一類初等行變換也能使用．這樣得到的矩陣A，其元素均為整數，而且由于=1可知，的元素必然均為整數．七：逆矩陣求某些函數的不定積分利用逆矩陣求不定積分的具體方法：1） 根據所求函數的不定積分，構造一個由基生成的子空間W=，并且W在求導變換D/W下是封閉的；2） 求D/W在基下矩陣A=；3） 根據高等代數知識，求逆矩陣，則就是逆變換在基下的矩陣；4） 根據的第j列元素寫出=，j=1,2,3,4,5,6,…,n于是得出所求積分=+C,j=1，2，3，4，…n例：求定積分 選定子空間W=L()，則W是求導變換D/W的不變子空間，且是W的一組基，且 5，其中是任意常數.4，其中是任意常數.=，其中C是任意常數.八：可逆矩陣的推廣———廣義逆眾所周知，目前我們所學習、所了解的矩陣的可逆都是建立在n階方陣的基礎上，那如果是長方陣呢，對于長方陣，是否也有逆的性質，長方陣的逆又是怎樣的呢？查閱資
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