矩陣分解及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-08-20 03:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 行為矩陣G，則有A=FG。4. 奇異值分解矩陣的奇異值分解是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，在最優(yōu)化問題、特征值問題、最小二乘問題和廣義逆問題及統(tǒng)計(jì)學(xué)問題中都有重要的應(yīng)用。對(duì)秩為r的階矩陣A進(jìn)行奇異值分解的步驟是：1). 求得的特征值，及對(duì)應(yīng)的特征向量并正交單位化，得矩陣V，使得；2). 將V的前r列作為，令，再擴(kuò)張成m階的矩陣U；3). 那么。從計(jì)算過程中可以看出，矩陣的奇異值分解解求是由矩陣的特征值開始的，因此這種分解自然和特征值的問題有莫大聯(lián)系的。三、 矩陣分解主要應(yīng)用矩陣的分解還有很多的應(yīng)用，比如可以用來求矩陣的秩，對(duì)于階數(shù)偏大的矩陣，即使用初等變換的方法，也是計(jì)算量很大的，而把矩陣分解后可以使計(jì)算簡單。再如，在線性代數(shù)中求矩陣的n次冪是很常見的，若是一板一眼的進(jìn)行矩陣相乘，當(dāng)n較大時(shí)計(jì)算量可想而知，況且，當(dāng)n逐漸增大或是非純數(shù)據(jù)間的運(yùn)算的情況下，根本就沒有計(jì)算的可能，此時(shí)，矩陣分解方法的應(yīng)用可以令問題變得簡單而易懂。判斷矩陣的正定性需要不斷的計(jì)算行列式，計(jì)算量大而復(fù)雜，矩陣分解可以使之更簡單直接。在廣義逆問題中，矩陣的奇異值分解的作用一樣不可代替。在證明的存在性時(shí)，首先就需要用奇異分解來得到一個(gè)結(jié)論：，由此得到的可以由表示，再去證明應(yīng)該滿足的條件就方便得多了。同時(shí)，在廣義逆中，滿秩分解有很多的應(yīng)用。在證明A｛1｝的存在性時(shí)就需要用到Hermite行標(biāo)準(zhǔn)形來得到“對(duì)于任一的矩陣，總是存在非奇異矩陣Q和置換矩陣P，使”，之后才能構(gòu)造來證明是存在的。用矩陣的滿秩分解還能構(gòu)造A+，若矩陣A有滿秩分解，即，則可以證明有。矩陣的QR分解可以用來解決線性最小二乘法的問題，也可以用來降低矩陣求逆的代價(jià)。矩陣的求逆是件不小的工程，尤其是當(dāng)矩陣階數(shù)慢慢變大的情況時(shí)，而用先把矩陣QR分解成正交矩陣和上三角矩陣，就容易多了，況且正交矩陣的轉(zhuǎn)置就是逆，這一點(diǎn)是其他的矩陣分解無法比擬的。在解求線性方程組中，如果系數(shù)矩陣的階數(shù)比較大，可以利用QR分解來使計(jì)算簡單化。另外，QR分解考慮的是n階矩陣，其他的矩陣是不能用這種方法進(jìn)行分解，由于QR分解的這一前提條件，使得下面提到的滿秩矩陣分解和奇異值分解就有了其特殊的意義。下面就矩陣的奇異值分解詳細(xì)談?wù)?。定義 設(shè)是秩為的復(fù)矩陣，的特征值為.則稱為A的奇異值.易見，零矩陣的奇異值都是零，矩陣的奇異值的個(gè)數(shù)等于的列數(shù)，的非零奇異值的個(gè)數(shù)等于其秩.矩陣的奇異值具有如下性質(zhì)：（1）為正規(guī)
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