數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項(xiàng)式的比較分析(編輯修改稿)
2025-04-04 01:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 示 ]1[ ： 表 1 差商表 xk )(xkg 一 階差商 二階差商 三階差商 x0 )( 0xg x1 )( 1xg ],[ 10 xxg x2 )( 2xg ],[ 21 xxg ],[ 210 xxxg x3 )( 3xg ],[ 32 xxg ],[ 321 xxxg ],[ 3210 xxxxg … … … … … 由差商的定義可以得出 ]75,1[ ， ： ????????????????? ], . . . ,[)(], . . . ,[], . . . ,[. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .],[)(],[],[],[)()()(01010101100000xxxxxxxxxxxxxxxxxnnnn xgxgxgxgxgxgxgxgxg 所以有： ?)(xg ?)(0xg )( 0xx? ?],[ 10 xxg ))(( 10 xx xx ?? ?? .. .. ..],[ 210 xxxg )())(( 110 xxx nxxx ???? ? ?],...,[ 10 xxx ng ],. .. ,[)( 0 xxx nn xfx ? ?? )(xNn )(xRn 其中： ?)(xNn ?)( 0xg )( 0xx? ?],[ 10 xxg ))(( 10 xx xx ?? ?? .. .. ..],[ 210 xxxg)())(( 110 xxx nxxx ???? ? ],...,[ 10 xxx ng 。即 )(xNn 是過(guò) n+1 個(gè)插值點(diǎn)的 n 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 5 階 Newton 插值多項(xiàng)式， )(xRn為插值多項(xiàng)式誤差。 由于 n 次 Newton 插值多項(xiàng)式與 n 次 Lagrange 插值多項(xiàng)式是恒等的，只是表達(dá)方式不同，即 Newton 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)和 Lagrange 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)相同： ??? )()()( xxgx NR nn ?? ?? )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ],...,[ 10 xx ng )(1 xn?? . 當(dāng)用 Newton 插值多項(xiàng)式計(jì)算較高次的插值時(shí)，只需添加一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和在這節(jié)點(diǎn)處的計(jì)算即可，而表達(dá)式前面的計(jì)算仍然有效，從而節(jié)省了計(jì)算量。但是用 Lagrange 插值多項(xiàng)式計(jì)算較高次的插值時(shí)，在添加一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和其計(jì)算時(shí)，表達(dá)式也要經(jīng)過(guò)重新計(jì)算，計(jì)算量明顯的增大。所以 Newton 插值多項(xiàng)式在這一點(diǎn)上克服了承上啟下的問(wèn)題。但隨著次數(shù) n的增大，其誤差不是很穩(wěn)定，所以 Newton 插值對(duì)高次插值是不可取的。 Hermite 插值法 定義 ],3,2,1[ ：設(shè)在 1?n 個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn) xxxxn,......, 210上，給定)(xy ii f? ， nif xm ii ,. .. .. .,2,1,0),( ??? 。要求一個(gè)次數(shù) 不超過(guò) 12?n 的多項(xiàng)式)(12 xHn? ，使得滿(mǎn)足條件： yxH iin ?? )(12 ， nimxH iin , .. .. .. ,2,1,0,)(12 ??? ? . 則稱(chēng)滿(mǎn)足這種條件的多項(xiàng)式為 Hermite 插值多項(xiàng)式。 由于 Hermite 插值是帶有導(dǎo)數(shù)的插值法，所以在運(yùn)用 Hermite 插值法時(shí)就必須知道在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值，且還要求它們相等 .如表 2 所示，知道了節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值： 表 2 節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)表 xi x0 x1 x2 … xn )(xiy y0 y1 y2 … yn )(xiy? b0 b1 b2 … bn 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 6 由表 2 可構(gòu)造出一個(gè)次數(shù)不高于 12?n 的多項(xiàng)式 )(12 xHn?，則稱(chēng))(12 xHn? 為 Hermite 插值多項(xiàng)式，即 ?? )(12 xH n ))()((0 xx iiini i by ?? ???。其中 )(xi?， )(xi?為插值基函數(shù)，則對(duì) ),(],[ babax ???? ? ，使得誤差函數(shù)或余項(xiàng) ?? )(1 xRzn ?)(xy ?? )(12 xHn )(1)!22()( 2)12( xnnfn ????? . Hermite 插值多項(xiàng)式能夠克服插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處不光滑、不可導(dǎo)的缺點(diǎn) .但是在運(yùn)用 Hermite 插值公式計(jì)算不但要求在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)也要求相等，條件太高 . 分段低次插值法 在實(shí)際運(yùn)用函數(shù)作插值多項(xiàng)式時(shí)，并不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，插值余項(xiàng)就越小，值就越精確。這時(shí)就出現(xiàn)了計(jì)算出來(lái)的值與真實(shí)值相差很大的問(wèn)題，比如說(shuō)常見(jiàn)的龍格現(xiàn)象 .針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，通常采用分段低次多項(xiàng)式去分段被插函數(shù)。以下介紹常用的分段線性插值 ]81[， . 設(shè)有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) ba xxxn ????? ?10，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 yyyn, 10 ?.若記 xxiinih ?? ???? 110m ax，有 )(xIn 滿(mǎn)足： （ 1） )(xIn 屬于 ],[ baC ； （ 2） yxIiin ?)(； （ 3）在任一個(gè)小區(qū)間 ],[1xx ii ?上， )(xIn 是線性多項(xiàng)式 . 則稱(chēng) )(xIn 為分段線性插值函數(shù)（其中 ni ,2,1,0 ?? ） .所以在每個(gè)小區(qū)間],[ 1xx ii ? 上，可表示為： ?)(xIn xx xyxx xyiiiiiiii xx ?????????1111 誤差估計(jì)由定理給出： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 7 定理 ]6,1[ 若 ?)(xf ],[2 baC ，記 )(m ax2 xfbxaM ?? ??， 則 對(duì)],[ ba
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