【正文】 附錄 1]，得 到以下圖像： 數學與應用數學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 11 圖 1 由圖 1可以知道在運用高次 Lagrange 插值多項式逼近被插函數時，并不是插值多項式的次數越高越好，隨著節(jié)點的增多，用 Lagrange 插值法計算出來的結果 與真實值相差就越大，其誤差也就越大，也就出現了發(fā)散的現象，這就是我們常說的龍格現象。以下介紹常用的分段線性插值 ]81[， . 設有 n+1個節(jié)點 ba xxxn ????? ?10，對應的函數值為 yyyn, 10 ?.若記 xxiinih ?? ???? 110m ax，有 )(xIn 滿足： （ 1） )(xIn 屬于 ],[ baC ； （ 2） yxIiin ?)(； （ 3）在任一個小區(qū)間 ],[1xx ii ?上， )(xIn 是線性多項式 . 則稱 )(xIn 為分段線性插值函數（其中 ni ,2,1,0 ?? ） .所以在每個小區(qū)間],[ 1xx ii ? 上，可表示為： ?)(xIn xx xyxx xyiiiiiiii xx ?????????1111 誤差估計由定理給出： 數學與應用數學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 7 定理 ]6,1[ 若 ?)(xf ],[2 baC ，記 )(m ax2 xfbxaM ?? ??， 則 對],[ bax?? . ??xIn 有誤差函數或余項估計： MhIR xxfx nn 228)()()( ??? . 分段 低次插值函數有很好的一致收斂性和穩(wěn)定性，它計算量小，在實際生活中用到是最廣的 .但它的光滑性太差 . 三次樣條插值法 三次樣條插值法也是一種分段插值法。但是用 Lagrange 插值多項式計算較高次的插值時，在添加一項對應的節(jié)點和其計算時，表達式也要經過重新計算，計算量明顯的增大。 同 理 ， 當 xxxx n???? ... .. .210 為 插 值 節(jié) 點 時 ， 有.),. ... .,2,1,0()( niyxL iin ?? ,則 )(xLn 可寫成： ?)(xLn ??? )(0 xni iily ))... ()()... (())... ()()... ((1101100 xxxxxxxxxxxxyniiiiiiniini ixxxx ???? ?????????? )( 數學與應用數學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 3 式 )( 被稱為 Lagrange 插值多項式 . 在 )( ， )( ， )( 式子中， )(xlik均為插值基函數，且滿足： ?)(xlik ???01 ki ki??，即得 ?)(xlk ), . . . . . . ,2,1,0(0nixnkii ikixx x ??????. 誤差估計由定理形式給出： 定理 ]7,6,1[ 設 xxxxn,......, 210為區(qū)間 ],[ ba 上互不相同的節(jié)點，? ? ],[ baxf Cn? ，且 )()1( xf n? 在 ),( ba 內存在， )(xLn 滿足 yxL iin ?)( 的插值多項式，則對 ),(],[ babax ???? ? ，使得 ?? )()( xfxRn ?)(xLn )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ??? . 還可寫成其截斷誤差： )()!1()( 11 xnx nnn MR ? ????.其中 )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?，)()( 01 ??? ?? ni in xxx? . Lagrange 插值多項式的優(yōu)點是表達式簡單明確、便于推導、格式整齊規(guī)范；缺點是沒有承上啟下性和計算量大，即當需要增加、減少新的節(jié)點或節(jié)點位置變化時，就得從新計算所以的函數 )(xlik。 1 、幾種常見的插值公式及其構造 插值法是函數插值法的簡稱，它的基本思想是：構造一個簡單便于計算的函數 )(x? 去逼近原函數 )(xf ，通過計算逼近函數 )(x? 在某一點的值從而得到原函數 )(xf 在這一點的近似值， 而求 )(x? 的方法就 稱為插值法。許多實際問題都需要運用插值法來解決，所以通過介紹幾種常見的插值公式及其誤差估計，如： Lagrange 插值公式、 Newton 插值公式、 Hermite 插值公式、分段低次插值公式、三次樣條插值公式。其中當 )(x? 是多項式時，稱為代數插值方法， 數學與應用數學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 2 即多項式插值。同理給出 在節(jié)點 xxxx n,......, 210 處的函數值 )(), ... .. .,(),( 10 xxx nggg 。 Hermite 插值法 定義 ],3,2,1[ ：設在 1?n 個不同的插值節(jié)點 xxxxn,......, 210上，給定)(xy ii f? ， nif xm ii ,. .. .. .,2,1,0),( ??? 。 設區(qū)間 ],[ba 上有 1?n 個節(jié)點，節(jié)點為 ba xxxn ????? ?10，且這些節(jié)點的函數值分別為 ),2,1,0( nkyk ??。 同理運用三次樣條插值法計算，由 Matlab 得到以下圖像 [見附錄 3]： 圖 3 同樣由圖 3 中可以看出，三次樣條插值法不僅克服了高次 Lagrange 插值法的不收斂性，同時也克服了分段插值法的插值精度低、在節(jié)點處不光滑的缺點，即提高節(jié)點處的光滑性。 plot(x0,y0,’ — r’ ) hold on plot(x0,y1,’ b’ ) legend(拉格朗日插值曲線，‘原曲線’ ) y2=interp1(x,y,x0)。 plot (x0,y1,’ b’ ,x0,y0,’ — r’ ,x0,y2,’ xk’ ,x0,y3,’ y’ )。 y0=lagrange(x,y,x0)。 y=1./(1+x.^2)。然而從例題中可以發(fā)現分別用 Lagrang