數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項(xiàng)式的比較分析(存儲版)
【正文】 附錄 1]，得 到以下圖像： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 11 圖 1 由圖 1可以知道在運(yùn)用高次 Lagrange 插值多項(xiàng)式逼近被插函數(shù)時(shí)，并不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好，隨著節(jié)點(diǎn)的增多，用 Lagrange 插值法計(jì)算出來的結(jié)果 與真實(shí)值相差就越大，其誤差也就越大，也就出現(xiàn)了發(fā)散的現(xiàn)象，這就是我們常說的龍格現(xiàn)象。以下介紹常用的分段線性插值 ]81[， . 設(shè)有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) ba xxxn ????? ?10，對應(yīng)的函數(shù)值為 yyyn, 10 ?.若記 xxiinih ?? ???? 110m ax，有 )(xIn 滿足： （ 1） )(xIn 屬于 ],[ baC ； （ 2） yxIiin ?)(； （ 3）在任一個(gè)小區(qū)間 ],[1xx ii ?上， )(xIn 是線性多項(xiàng)式 . 則稱 )(xIn 為分段線性插值函數(shù)（其中 ni ,2,1,0 ?? ） .所以在每個(gè)小區(qū)間],[ 1xx ii ? 上，可表示為： ?)(xIn xx xyxx xyiiiiiiii xx ?????????1111 誤差估計(jì)由定理給出： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 7 定理 ]6,1[ 若 ?)(xf ],[2 baC ，記 )(m ax2 xfbxaM ?? ??， 則 對],[ bax?? . ??xIn 有誤差函數(shù)或余項(xiàng)估計(jì)： MhIR xxfx nn 228)()()( ??? . 分段 低次插值函數(shù)有很好的一致收斂性和穩(wěn)定性，它計(jì)算量小，在實(shí)際生活中用到是最廣的 .但它的光滑性太差 . 三次樣條插值法 三次樣條插值法也是一種分段插值法。但是用 Lagrange 插值多項(xiàng)式計(jì)算較高次的插值時(shí)，在添加一項(xiàng)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和其計(jì)算時(shí)，表達(dá)式也要經(jīng)過重新計(jì)算，計(jì)算量明顯的增大。 同 理 ， 當(dāng) xxxx n???? ... .. .210 為 插 值 節(jié) 點(diǎn) 時(shí) ， 有.),. ... .,2,1,0()( niyxL iin ?? ,則 )(xLn 可寫成： ?)(xLn ??? )(0 xni iily ))... ()()... (())... ()()... ((1101100 xxxxxxxxxxxxyniiiiiiniini ixxxx ???? ?????????? )( 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 3 式 )( 被稱為 Lagrange 插值多項(xiàng)式 . 在 )( ， )( ， )( 式子中， )(xlik均為插值基函數(shù)，且滿足： ?)(xlik ???01 ki ki??，即得 ?)(xlk ), . . . . . . ,2,1,0(0nixnkii ikixx x ??????. 誤差估計(jì)由定理形式給出： 定理 ]7,6,1[ 設(shè) xxxxn,......, 210為區(qū)間 ],[ ba 上互不相同的節(jié)點(diǎn)，? ? ],[ baxf Cn? ，且 )()1( xf n? 在 ),( ba 內(nèi)存在， )(xLn 滿足 yxL iin ?)( 的插值多項(xiàng)式，則對 ),(],[ babax ???? ? ，使得 ?? )()( xfxRn ?)(xLn )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ??? . 還可寫成其截?cái)嗾`差： )()!1()( 11 xnx nnn MR ? ????.其中 )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?，)()( 01 ??? ?? ni in xxx? . Lagrange 插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)式簡單明確、便于推導(dǎo)、格式整齊規(guī)范；缺點(diǎn)是沒有承上啟下性和計(jì)算量大，即當(dāng)需要增加、減少新的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)位置變化時(shí)，就得從新計(jì)算所以的函數(shù) )(xlik。 1 、幾種常見的插值公式及其構(gòu)造 插值法是函數(shù)插值法的簡稱，它的基本思想是：構(gòu)造一個(gè)簡單便于計(jì)算的函數(shù) )(x? 去逼近原函數(shù) )(xf ，通過計(jì)算逼近函數(shù) )(x? 在某一點(diǎn)的值從而得到原函數(shù) )(xf 在這一點(diǎn)的近似值， 而求 )(x? 的方法就 稱為插值法。許多實(shí)際問題都需要運(yùn)用插值法來解決，所以通過介紹幾種常見的插值公式及其誤差估計(jì)，如： Lagrange 插值公式、 Newton 插值公式、 Hermite 插值公式、分段低次插值公式、三次樣條插值公式。其中當(dāng) )(x? 是多項(xiàng)式時(shí)，稱為代數(shù)插值方法， 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 2 即多項(xiàng)式插值。同理給出 在節(jié)點(diǎn) xxxx n,......, 210 處的函數(shù)值 )(), ... .. .,(),( 10 xxx nggg 。 Hermite 插值法 定義 ],3,2,1[ ：設(shè)在 1?n 個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn) xxxxn,......, 210上，給定)(xy ii f? ， nif xm ii ,. .. .. .,2,1,0),( ??? 。 設(shè)區(qū)間 ],[ba 上有 1?n 個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)為 ba xxxn ????? ?10，且這些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值分別為 ),2,1,0( nkyk ??。 同理運(yùn)用三次樣條插值法計(jì)算，由 Matlab 得到以下圖像 [見附錄 3]： 圖 3 同樣由圖 3 中可以看出，三次樣條插值法不僅克服了高次 Lagrange 插值法的不收斂性，同時(shí)也克服了分段插值法的插值精度低、在節(jié)點(diǎn)處不光滑的缺點(diǎn)，即提高節(jié)點(diǎn)處的光滑性。 plot(x0,y0,’ — r’ ) hold on plot(x0,y1,’ b’ ) legend(拉格朗日插值曲線，‘原曲線’ ) y2=interp1(x,y,x0)。 plot (x0,y1,’ b’ ,x0,y0,’ — r’ ,x0,y2,’ xk’ ,x0,y3,’ y’ )。 y0=lagrange(x,y,x0)。 y=1./(1+x.^2)。然而從例題中可以發(fā)現(xiàn)分別用 Lagrang
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