數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項式的比較分析-wenkub.com
2025-02-23 01:50 本頁面
【正文】 plot (x0,y1,’ b’ ,x0,y0,’ — r’ ,x0,y2,’ xk’ ,x0,y3,’ y’ )。 y0=lagrange(x,y,x0)。 plot(x0,y0,’ — r’ ) hold on plot(x0,y1,’ b’ ) legend(拉格朗日插值曲線，‘原曲線’ ) y2=interp1(x,y,x0)。 y=1./(1+x.^2)。 同理運(yùn)用三次樣條插值法計算，由 Matlab 得到以下圖像 [見附錄 3]： 圖 3 同樣由圖 3 中可以看出，三次樣條插值法不僅克服了高次 Lagrange 插值法的不收斂性，同時也克服了分段插值法的插值精度低、在節(jié)點處不光滑的缺點，即提高節(jié)點處的光滑性。然而從例題中可以發(fā)現(xiàn)分別用 Lagrange插值公式和 Newton 插值公式計算出來的結(jié)果了出現(xiàn)差異，那是因為計算的次數(shù)不同，舍入的誤差不同造成的。 設(shè)區(qū)間 ],[ba 上有 1?n 個節(jié)點，節(jié)點為 ba xxxn ????? ?10，且這些節(jié)點的函數(shù)值分別為 ),2,1,0( nkyk ??。這時就出現(xiàn)了計算出來的值與真實值相差很大的問題，比如說常見的龍格現(xiàn)象 .針對這類問題，通常采用分段低次多項式去分段被插函數(shù)。 Hermite 插值法 定義 ],3,2,1[ ：設(shè)在 1?n 個不同的插值節(jié)點 xxxxn,......, 210上，給定)(xy ii f? ， nif xm ii ,. .. .. .,2,1,0),( ??? 。 由于 n 次 Newton 插值多項式與 n 次 Lagrange 插值多項式是恒等的，只是表達(dá)方式不同，即 Newton 插值多項式的余項和 Lagrange 插值多項式的余項相同： ??? )()()( xxgx NR nn ?? ?? )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ],...,[ 10 xx ng )(1 xn?? . 當(dāng)用 Newton 插值多項式計算較高次的插值時，只需添加一項對應(yīng)的節(jié)點和在這節(jié)點處的計算即可，而表達(dá)式前面的計算仍然有效，從而節(jié)省了計算量。同理給出 在節(jié)點 xxxx n,......, 210 處的函數(shù)值 )(), ... .. .,(),( 10 xxx nggg 。則 )(2xL 可寫成： ?)(2 xL y0 ?)( 00 xl ?)( 111 xly )( 222 xly y0? ??? ?? ))(( ))((202121 xxxx xx xx y1 ??? ?? ))(( ))((210120 xxxx xx xx y2 ))(( ))((120210 xxxx xx xx ?? ?? )( 式 )( 被稱為拋物線插值多項式。其中當(dāng) )(x? 是多項式時，稱為代數(shù)插值方法， 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 2 即多項式插值。在數(shù)學(xué)上有多種方法 逼近函數(shù)，本文主要討論怎樣運(yùn)用插值法去逼近函數(shù)， 比較插值法的優(yōu)缺點，并 討 論插值法的適用范圍。許多實際問題都需要運(yùn)用插值法來解決，所以通過介紹幾種常見的插值公式及其誤差估計，如： Lagrange 插值公式、 Newton 插值公式、 Hermite 插值公式、分段低次插值公式、三次樣條插值公式。討論和比較它們的實用范圍和優(yōu)缺點 . 關(guān)鍵詞： 數(shù)值分析 插值法 插值公式 誤差 Matlab 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 II Comparison and Analysis on several kinds of interpolation polynomials Mathematics and Computer Science Department Mathematics and Applied Mathematics Wang Ye ABSTRACT Interpolation is one of the most basic method of numerical algorithm, but also the function approximation, numerical integration, numerical differentiation, numerical solution of differential equation based. Many practical problems need to solve by using the interpolation method, so the introduction of several mon interpolation formula and error estimate, such as: Lagrange interpolation formula, Newton formula, Hermite formula of interpolation, piecewise loworder interpolation formula, three spline interpolation formula. Discuss and pare their application range and advantages and disadvantages. Keywords:Numerical analysis Method of interpolation Formula of interpolation Error Matlab 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 1 引言 在全球化、信息化浪潮大力推動下，計算機(jī)技術(shù)得到了迅速的發(fā)展。 1 、幾種常見的插值公式及其構(gòu)造 插值法是函數(shù)插值法的簡稱，它的基本思想是：構(gòu)造一個簡單便于計算的函數(shù) )(x? 去逼近原函數(shù) )(xf ，通過計算逼近函數(shù) )(x? 在某一點的值從而得到原函數(shù) )(xf 在這一點的近似值， 而求 )(x? 的方法就 稱為插值法。若設(shè) )(xR 為誤差函數(shù)或余項，則有 )()()( xxfxR ??? .而且)(xR 滿足關(guān)系
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