【正文】 ln( 1)xx?? 例 2 當(dāng) 0?x 時 ,證明不等式 2s in c o s 1x x x x? ? ? ?成立。( ) 0F x f x m x a F x f x m? ? ? ? ? ?（因為 39。 利用性質(zhì)，若函數(shù) )(xfy? 是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù) )(xfy? 與它的反函數(shù)圖象的交點 必在直線 xy? 上 。 單調(diào)性 在比較大小方面的應(yīng)用 函數(shù)單調(diào)性用于比較大小一般性原則：在同一個函數(shù) )(xf 中有 21 xx? ，當(dāng)函數(shù) )(xf 在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)時有 )()( 21 xfxf ? ；當(dāng)函數(shù) )(xf 在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)是時有 )()( 12 xfxf ? 。 單調(diào)性在生產(chǎn)利潤 中的應(yīng)用 例 1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投甲、乙兩種原料 1x 和 2x （單位：噸）分別是它們各自的投入量，則該產(chǎn)品的產(chǎn)出量為 122Q x x??? （單位：噸），其中 0?? ， 0?? 且 1????。 又由題意 ， ),( yxL 可導(dǎo)且一定存在最大值 ， 故最大值必在這惟一的 駐點處達(dá)到。 ? ? ? ?2 02 2 2A x ql qxM x Y x qx x x l? ? ? ? ? ? ? ? （ 3）依題意得 ? ? )( 2 ????? xxxxM ? ? )( ?????? xxxM 當(dāng) 3?x 時， 0)( ?? xM ；當(dāng) 3?x 時， 0)( ?? xM ；當(dāng) 3?x 時， 0)( ?? xM ； 故 3?x 時， )(xM 取得最大值， MKNMxM ??? )3(m a x)( ,即彎矩最大處在跨中位置。在這四年里，幸運的讓我遇到了這么多令我受益匪淺的老師、同學(xué)，正是在他們的關(guān)懷幫助下，我才能從懵懂之童 ,成長到今天 ,才能順利的完成這次的畢業(yè)論文。 感謝老師對我論文的指導(dǎo)，幫我解決了一些疑難問題，令我豁然開朗、柳暗花明。展望未來，隨著相關(guān)理論基礎(chǔ)的不斷充實，函數(shù)單調(diào)性將會在解決實際問題中發(fā)揮更大的作用，諸如計算飛船下落回收時間，計算物種成長繁殖速度問題等，這些在目前看 來尚不能精確掌握的問題都會迎刃而解。 單調(diào)性在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用 例 1 如下圖所示，此簡圖為一常 見的框架梁結(jié)構(gòu)圖。 解： (1)利潤函數(shù)為 )(),( yxRyxL ??? 22 1028311315 yxxyyx ?????? 求函數(shù) L 的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?0，得方程組： 13 8 4 031 8 20 0L yxxL xyy?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ???? 解得 ?x ， ?y 。 例 2 橫梁的強度和它的矩形斷面的寬成正比，并和高的平方成正比，要將直徑為 d 的圓木鋸成強度最大的橫梁，問斷面的寬和高應(yīng)該各是多少？ 解 ： 設(shè)斷面的寬和高分別是 x 和 y ，則橫梁的強度 2T kxy? ( 0)k? ，又 2 2 2y d x??， 故求 22( ) ( )f x x d x??(0 )xd?? 的最大值即可 。 構(gòu)造方程 12020)( 3 ??? tttf ，因為 020203)( 2 ???? ttf 在 ? ????? , 恒成立，所以 )(tf 在? ????? , 內(nèi)為增函數(shù)，所以方程 0)( ?tf 只有唯一解，即 yx ??? 11 ，所以有 2??yx 。 又把 2?x 代入時有 (2) 0f ? ， 即原方程只有一個根 2?x 。39。 1( ) 11fx x? ??? .令 0)( ?? xf ，解得 0?x 。( ) 0 ( ) 39。( ) 0, ( ) 0R x R a??時，則有 ( ) ( )f x g x? ； （ 2） 39。 解： ()fx是分段函數(shù)，表達(dá)式為： x ( 2, 1)?? 1? 4( 1, )3? 43 4( ,2)3 ()fx? ? 0 0 ? ()fx 遞增 極大值 92 遞減 極小值 5027? 遞增 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 14 ????????????????????????axaxxaxxaxxxaxxf 11110 11110 1111)( 易得 ()fx在 ( , )???? 連續(xù) ,求導(dǎo)得 22222211 0( 1 ) ( 1 )11( ) 0( 1 ) ( 1 )11 ( 1 ) ( 1 )xx a xf x x ax a xxax x a????? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ??? ? ?? 由此得 ( ,0]x??? 時 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( ,0]?? 單調(diào)增加； [ , )xa? ?? 時 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 [ , )a?? 單調(diào)減少。最后比較所有這些函數(shù)值，最大者為最大值，最小者為最小值。不過在實際問題中 ， 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì) 來判定所求的點是不是極值點。 （ 1）當(dāng) 02 ??BAC 時，函數(shù) ( , )f xy 在 ),( 00 yx 處有極值，且當(dāng) 0?A 時有極小值),( 00 yxf ； 0?A 時有極大值 ),( 00 yxf ； （ 2）當(dāng) 02 ??BAC 時 ，函數(shù) ),( yxf 在 ),( 00 yx 處沒有極值； （ 3）當(dāng) 02 ??BAC 時，函數(shù) ),( yxf 在 ),( 00 yx 處可能有極值，也可能沒有極值。 所以，當(dāng) )275,( ????a ∪ (1, )? 時，曲線 y = ()fx與 x 軸僅有一個交點。()fx 23 2 1xx? ? ? ， 若 39。 證明：令 xxxxf 2ta ns in)( ??? ，則 2s e cc o s)( 2 ???? xxxf ，則 23( ) 2 se c ta n sin sin ( 2 se c 1 ) 0f x x x x x x?? ? ? ? ? ? 故 )(xf? 在 ）（ 2,0? 上單調(diào)遞增， 從而當(dāng) 20 ???x 時， 0)0()( ???? fxf ，于是 )(xf 在 ）（ 2,0? 上單調(diào)遞增， 0)0()( ?? fxf ，即 xxx 2tansin ?? 。當(dāng) 10 ??a時 ,a 的值越小函數(shù)值下降越快；當(dāng) 1?a 時 ,a 的值越大函數(shù)值增加越快。 一次函數(shù)單調(diào)性的判別 一次函數(shù)的解析式： ()f x ax b?? 當(dāng) 0?a 時，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是上升的： 當(dāng) 0?a 時，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是下降的； 當(dāng) 0?a 時，一次函數(shù)變成為常數(shù)，不討論單調(diào)性。 證明：在情形（ 1），由于 0( ) 0fx?? ? ，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 0000( ) ( )( ) li m 0xxf x f xfx xx?????? ??? 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性，存在 0x 的某個去心鄰域 ）（ ?。 定理 6（極值的第一充分條件） 設(shè) ()fx在 0x 點處連續(xù)，在某領(lǐng)域 0 0( 。 介值性定理 定理 4 設(shè)函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且 )()( bfaf ? ，若 181。例如函數(shù) xxf ?)( 在開區(qū) 間 ? ?ba, 內(nèi)既無最大值又無最小值。( ) 1 0fx?? ? ，滿足條件。( ) 0fx? ，則 )(xf 是減函數(shù)；若 39。 證明： 設(shè) 12,xx是區(qū)間 ]1,0( 上的任意實數(shù)，且 12xx? ，則 1 2 1 2 1 21 2 1 2211 2 1 21 2 1 21 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( 1 )f x f x x x x xx x x xxxx x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 1 2 1 2121 2 1 21210 1 0 , 0 1 , 1 0 , 0 1 ,1( ) ( 1 ) 0 , ( ) ( ) 0.x x x x x x x xxxx x f x f xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?又即 ? ?1 2 1 2( ) ( ) 1( 0) ,x x f x f x f x??因 為 當(dāng) 時 ， 有 ， 在 區(qū) 間 上所 以 單 調(diào) 遞 減 。本文將在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)之上，總結(jié)單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問題中的相關(guān)應(yīng)用，并且探討單調(diào)性在利潤最大化、 材料優(yōu)化、資源整合和路徑選擇等方面的應(yīng)用。17 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用 8 函 數(shù)單調(diào)性的解題應(yīng)用 3 函數(shù)單調(diào)性的判別 關(guān)鍵詞 ： 函數(shù)單調(diào)性，判別，導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用 Abstract Monotonic function not only is one of the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis what’s the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching, or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance. Keywords： Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application