【正文】 xxxfxf ??? ； )(xf 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞減， Dxx ?21, ,且 2121 )()( xxxfxf ??? 。 若函數(shù)在這一區(qū)間具有 (嚴格的 )單調(diào)性 ,則就說函數(shù) ()y f x? 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。15 單調(diào)性在化簡求值方面 的應(yīng)用 1 函數(shù)單調(diào)性的基本概念 學(xué)號 ： 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院 本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 摘 要 函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，同時也是解決實際問題求最值的重要方法 。 1 函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)理論 16 單調(diào)性在比較大小方面的應(yīng)用 函數(shù)單調(diào)性的意義 在單調(diào)區(qū)間上 ， 增函數(shù)的圖像是上升的 ， 減函數(shù)的圖像是下降的。 例 3 已知奇函數(shù) )(xf 是定義在 ? ?11，? 上的減函數(shù)，若 0)1()1( 2 ???? afaf ，求實數(shù) a的取值范圍。( ) 0fx? 。 解：由三角函數(shù) xsin 的性質(zhì)可知 ,當(dāng) 2??x 時，函數(shù) ??xsin 取得最大值 12sin ????????；當(dāng)23??x 時，函數(shù) ??xsin 取得最小值 12sin ?????????? .故函數(shù) )(xf 的最大值為 2，最小值為 0。 零點定理 定理 3 設(shè)函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且 )(af 與 )(bf 異號，那么在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 5 至少有一點 ? ，使 0)( ??f 。 函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的，如果 0()fx 是函數(shù) ()fx的極值點，那只就 0x 附近的一個局部范圍來說 ， 設(shè)函數(shù) ()fx在 0x 附近有定義，如果對 0x 附近的所有的點，都有()fx? 0()fx 則 0()fx 是函數(shù) ()fx的一個極大值；如果對 0x 附近的所有的點，都有()fx? 0()fx ，則 0()fx 是函數(shù) ()fx的一個極小值 , 對應(yīng)的極值點就是 （ 0x ， 0()fx ）。 解：函數(shù) ()fx ,2)0(0 ?? fx 處取得極大值在 ）內(nèi)（但在 00U? 11( ) 2 ( 2 sin ) c o sf x x xx? ? ? ? ? 有正有負， 的左右兩側(cè)都不單調(diào)在從而 0)( ?xxf 。 例 4 設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 xyy ??? 2 所確定，且 ? ? 00 ??xy 。其中當(dāng) 10 ??a 時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù) ,其中當(dāng) 1?a 時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。( )fx在幾何上表示曲線 ()y f x? 在點 00M( , ( ))x f x 處的切線的斜率，即 039。極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。()fx39。 解：（ 1）∵ ? ? 32f x x bx cx? ? ?，∴ ? ? 232f x x b x c? ? ? ?,從而 3 2 232( ) ( ) ( ) ( 3 2 ) = ( 3 ) ( 2 )g x f x f x x b x c x x b x cx b x c b x c?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 即 ()gx是一個奇函數(shù) ,所以 (0) 0g ? 得 0c? ，由奇函數(shù)定義得 3b? ； （ 2） 由（ 1）知 3( ) 6g x x x??從而 2( ) 3 6g x x? ??，令 2( ) 3 6g x x? ??=0， 解得 2x?? ，由 2( ) 3 6 0 , 2 2g x x x x? ? ? ? ? ? ?解 得 或， 2( ) 3 6 0g x x? ? ? ? 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 10 22x? ? ?解 得 。 類似地，由 61)3,3,9(22 ????????xzA ， 21)3,3,9(2 ????? ???yx zB，35)3,3,9(22 ???? ???y zC 可知 03612 ??? BAC ，又 061???A ，從而點 ）（ 3,9?? 是 ),( yxz 的極大值點，極大值為3)3,9( ????z 。關(guān)于極小值也類似。 解 ： 由原式得 ,44)( 23 axaxxxf ???? 所以 .423)( 2 ???? axxxf 由 0)1( ???f 得 21?a ,此時有 43)(),21)(4()( 22 ??????? xxxfxxxf 。 單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用 設(shè)函數(shù) y= ()fx在定義區(qū)間 Ⅰ 上連續(xù)， 在 Ⅰ 內(nèi)可導(dǎo)，如果在定義區(qū)間 Ⅰ 內(nèi) 39。( ) 0 ( ) 39。( ) 0Rx? , R39。( ) c o s sin 1 2R x x x x? ? ? ?, 0c os1s i n12c oss i n)( ??????????? xxxxxR ， 0)0()( ???? RxR所以 ， 即 0)( ?? xR ，所以 )(xR 為單調(diào)遞增函數(shù)， ( ) (0) 0,R x R??即 2s in c o s 1x x x x? ? ? ?。( ) 39。 解之得 21 13(1 2 4 4 )24x a a a? ? ? ? ? 22 13(1 2 + 4 4 )24x a a a? ? ? ? 顯然， 02?x ； 又因為 2 2 234 4 1 4 4 (1 2 )4a a a a a? ? ? ? ? ? ?，所以 01?x ，故而 21,xx 均為原方程的解 。 例 1 設(shè) 0, ?ba 且 ba? ，比較 abba baba ? 。試問，當(dāng)投入兩種原料的總費用為 P（單位：萬元）時，兩種原料各投入多少可以使該產(chǎn)品的產(chǎn)出最大？ 解：由題設(shè)只應(yīng)求函數(shù) 122Q x x??? 在條件 1 1 2 2P p x p x??之下的最大值點，應(yīng)用拉格朗日 乘數(shù)法構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 19 1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) 2 ( )F x x x x p x p x P????? ? ? ?， 為求 12( , , )F x x ? 的駐點，解方程組 1211 2 111 2 21 1 2 2200xxF x x pF x x pF p x p x P????????????? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 由方程1 0xF??，2 0xF??可得 111 2 1 21222ax x x xpp? ? ?????? ，解得 2121pxxp??? . 代入 0F??? 有2 2 2 2p x p x P?? ??，解得1 1Px p??，2 2Px p??。 因此 ， 當(dāng)電視廣告費與報紙廣告費分別為 萬元和 萬元時 ， 最大利潤為 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 20 萬元 ， 此即為最佳廣告策略。由此可知，車站 D 建于 BC 之間并且與 B 相距 km15 處時，運費最省。 更感謝我含辛茹苦的父母親，他們都是農(nóng)民，他們沒有文化，他們不能給予我榮華富貴，但是他們是我最親愛的人，他們給予了他們能夠給予我的父愛母愛 ，給予了我做人的最基本的道理。 非常感謝我的畢業(yè)設(shè)計指導(dǎo)老師 —— **老師對我的畢業(yè)論文進行了悉心的指導(dǎo)，并提出了很多的寶貴意見。 本文的創(chuàng)新點在于不僅對單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進行了分類歸納，更深入例舉了函數(shù)單調(diào)性在解決實際問題中的應(yīng)用，像如何做到使材料最省、利潤最大，優(yōu)化路徑等。020831,04813??yxyFxyxF 并和條件 ??yx 聯(lián)立 解 得 0?x ， ?y 。 例 2 某公司通過電臺及報紙兩種方式 做銷售廣告，收入 R 萬元與電視廣告費 x 萬元及報紙廣告費 y 萬元之間的關(guān)系為： 22 1028321415 yxxyyxR ?????? 。 函數(shù)單調(diào)性在實際生活中的應(yīng)用 函數(shù)單調(diào)性 在實際中的應(yīng)用主要反映在最值（極值）上，如材料優(yōu)化、資源整合、利潤最大化、路徑選擇等。 例 1 設(shè) yx, 為實數(shù)，并滿足 ? 33( 1 ) 2 0 1 3 ( 1 ) 1(1 ) 2 0 1 3 (1 ) 1xxyy? ? ? ? ?? ? ? ? ?，求 yx? 的值。故 )()( aFbF ? 其中 21( ) ( ) ( )2baF b f x d t m b a? ? ??， 21( ) ( ) ( ) 02aaF a f x d x m a a? ? ? ??，所以 21( ) ( )2ba f x d x m b a??? 單調(diào)性在求方程解問題中的應(yīng)用 利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象能直觀地研究圖象的交點，假若能將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，這類問題便可以輕松獲解。 求證： 21( ) ( )2ba f x d x m b a??? 證明 : 將上限 b 改寫成 x ，設(shè)輔助函數(shù)為 21( ) ( ) ( )2xaF x f t d t m x a? ? ?? 則 39。( ) 0b ? ，安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 15 ( ) (b) 0R a R??，則有 ( ) ( )f x g x? 。 結(jié)論 3 設(shè) ( ) ( ) ( )R x f x g x??在區(qū)間 ）（ ba, 內(nèi)可導(dǎo) 39。( ) 0fx? 那么函數(shù) ()y f x? 在 Ⅰ 上單調(diào)減少，這是函數(shù)的單調(diào)性，也是應(yīng)用在函數(shù)不等式解題中中最基本性質(zhì)。( ), ( )f x f x 的變化如下表 4 5 0 9( ) ( ) , ( ) ( 1 ) , ( 2 ) 0 , ( 2 ) 0 ,3 2 7 2f x f f x f f f? ? ? ? ? ? ? ? ?極 小 極 大? )(xf 在 [－ 2,2]上的最大值為 ,29 最小值為 2750? 。設(shè) ()fx在 [,]ab 上 連續(xù)，那么 ()fx在 [,]ab 上一定取得最大值M 和最小值 m ， ()fx若 在 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)或只有個別的不可導(dǎo)點，則可以用以下方法求出 M和 m 及相應(yīng)的最大值與最小值。 于是，求函數(shù) ( , )zxy 在條件 ( , )xy? 的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為： （ 1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ),(),(),( yxyxfyxL ??? ?? 其中 ? 為某一常數(shù)； 安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論 文（設(shè)計） 12 （ 2）由方程組 ( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) 0( , ) 0x x x