數(shù)學與應用數(shù)學本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項式的比較分析-wenkub
2023-03-10 01:50:20 本頁面
【正文】 式 : .,.. .. .. ,2,1,0,0)( nkR x k ?? Lagrange 插值法 已知 Lagrange 插值是為 n 次多項式插值，首先考察低次的插值多項式。 同 理 ， 當 xxxx n???? ... .. .210 為 插 值 節(jié) 點 時 ， 有.),. ... .,2,1,0()( niyxL iin ?? ,則 )(xLn 可寫成： ?)(xLn ??? )(0 xni iily ))... ()()... (())... ()()... ((1101100 xxxxxxxxxxxxyniiiiiiniini ixxxx ???? ?????????? )( 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 3 式 )( 被稱為 Lagrange 插值多項式 . 在 )( ， )( ， )( 式子中， )(xlik均為插值基函數(shù)，且滿足： ?)(xlik ???01 ki ki??，即得 ?)(xlk ), . . . . . . ,2,1,0(0nixnkii ikixx x ??????. 誤差估計由定理形式給出： 定理 ]7,6,1[ 設 xxxxn,......, 210為區(qū)間 ],[ ba 上互不相同的節(jié)點，? ? ],[ baxf Cn? ，且 )()1( xf n? 在 ),( ba 內(nèi)存在， )(xLn 滿足 yxL iin ?)( 的插值多項式，則對 ),(],[ babax ???? ? ，使得 ?? )()( xfxRn ?)(xLn )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ??? . 還可寫成其截斷誤差： )()!1()( 11 xnx nnn MR ? ????.其中 )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?，)()( 01 ??? ?? ni in xxx? . Lagrange 插值多項式的優(yōu)點是表達式簡單明確、便于推導、格式整齊規(guī)范；缺點是沒有承上啟下性和計算量大，即當需要增加、減少新的節(jié)點或節(jié)點位置變化時，就得從新計算所以的函數(shù) )(xlik。則xx xxxxxxxxx on nnn ggg ??? ? ],...,[],...,[],...,[ 1102110 被稱 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 4 為函數(shù) )(xg 關(guān)于節(jié)點 xxxxn,......, 210的 n 階差商。但是用 Lagrange 插值多項式計算較高次的插值時，在添加一項對應的節(jié)點和其計算時，表達式也要經(jīng)過重新計算，計算量明顯的增大。要求一個次數(shù) 不超過 12?n 的多項式)(12 xHn? ，使得滿足條件： yxH iin ?? )(12 ， nimxH iin , .. .. .. ,2,1,0,)(12 ??? ? . 則稱滿足這種條件的多項式為 Hermite 插值多項式。以下介紹常用的分段線性插值 ]81[， . 設有 n+1個節(jié)點 ba xxxn ????? ?10，對應的函數(shù)值為 yyyn, 10 ?.若記 xxiinih ?? ???? 110m ax，有 )(xIn 滿足： （ 1） )(xIn 屬于 ],[ baC ； （ 2） yxIiin ?)(； （ 3）在任一個小區(qū)間 ],[1xx ii ?上， )(xIn 是線性多項式 . 則稱 )(xIn 為分段線性插值函數(shù)（其中 ni ,2,1,0 ?? ） .所以在每個小區(qū)間],[ 1xx ii ? 上，可表示為： ?)(xIn xx xyxx xyiiiiiiii xx ?????????1111 誤差估計由定理給出： 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 7 定理 ]6,1[ 若 ?)(xf ],[2 baC ，記 )(m ax2 xfbxaM ?? ??， 則 對],[ bax?? . ??xIn 有誤差函數(shù)或余項估計： MhIR xxfx nn 228)()()( ??? . 分段 低次插值函數(shù)有很好的一致收斂性和穩(wěn)定性，它計算量小，在實際生活中用到是最廣的 .但它的光滑性太差 . 三次樣條插值法 三次樣條插值法也是一種分段插值法?，F(xiàn)在假如存在一個分段函數(shù) )(xS ，且 ???xS???????)()()(21xxxSSSn? ],[],[],[12110xxxxxxnnxxx????? 使得 ??xS 在以下條件：（ 1） yxkkS ?)(； （ 2） )(xS 的二階導數(shù)在 ],[ ba 上連續(xù)； （ 3） )(xS 在每個小區(qū)間 ],[1xx kk ?為三次多項式 . 恒成立，其中（ nk ,2,1,0 ?? ），則稱 )(xS 為三次樣條插值函數(shù) . 誤差估計由定理給出： 定理 ]6,1[ 設 ],[)( 4 baxf C? ，且記 ,)()4(4 m ax xfM bxa ??? xx kknkh ?? ???? 110m ax ,則對 ].[ bax?? ，都有 )(xS 的誤差估計式 : 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 8 .2,1,0,)()( 44)()( ??? ? ixx MhCSf iiki 三次樣條插值函數(shù)它同樣具有良好的收斂性和逼近性，它在內(nèi)節(jié)點處的二階導數(shù)是連續(xù)的，即曲線光滑。同時從例題中還可以看出用 Hermite 插值公式計算得出的結(jié)果遠比運用 Lagrange 插值公式和 Newton插值公式得到的結(jié)果精確 . 例 2 ]12,11,1[ 給定一個函 ? ? ，xxf 21 1?? 55 ??? x ， 現(xiàn)在給出等距 離的插值節(jié)點 nixi 105???，其中 ni ,2,1 ?? .分別試用Lag
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