數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項(xiàng)式的比較分析-wenkub
2023-03-10 01:50:20 本頁(yè)面
【正文】 式 : .,.. .. .. ,2,1,0,0)( nkR x k ?? Lagrange 插值法 已知 Lagrange 插值是為 n 次多項(xiàng)式插值，首先考察低次的插值多項(xiàng)式。 同 理 ， 當(dāng) xxxx n???? ... .. .210 為 插 值 節(jié) 點(diǎn) 時(shí) ， 有.),. ... .,2,1,0()( niyxL iin ?? ,則 )(xLn 可寫(xiě)成： ?)(xLn ??? )(0 xni iily ))... ()()... (())... ()()... ((1101100 xxxxxxxxxxxxyniiiiiiniini ixxxx ???? ?????????? )( 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 3 式 )( 被稱(chēng)為 Lagrange 插值多項(xiàng)式 . 在 )( ， )( ， )( 式子中， )(xlik均為插值基函數(shù)，且滿(mǎn)足： ?)(xlik ???01 ki ki??，即得 ?)(xlk ), . . . . . . ,2,1,0(0nixnkii ikixx x ??????. 誤差估計(jì)由定理形式給出： 定理 ]7,6,1[ 設(shè) xxxxn,......, 210為區(qū)間 ],[ ba 上互不相同的節(jié)點(diǎn)，? ? ],[ baxf Cn? ，且 )()1( xf n? 在 ),( ba 內(nèi)存在， )(xLn 滿(mǎn)足 yxL iin ?)( 的插值多項(xiàng)式，則對(duì) ),(],[ babax ???? ? ，使得 ?? )()( xfxRn ?)(xLn )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ??? . 還可寫(xiě)成其截?cái)嗾`差： )()!1()( 11 xnx nnn MR ? ????.其中 )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?，)()( 01 ??? ?? ni in xxx? . Lagrange 插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)式簡(jiǎn)單明確、便于推導(dǎo)、格式整齊規(guī)范；缺點(diǎn)是沒(méi)有承上啟下性和計(jì)算量大，即當(dāng)需要增加、減少新的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)位置變化時(shí)，就得從新計(jì)算所以的函數(shù) )(xlik。則xx xxxxxxxxx on nnn ggg ??? ? ],...,[],...,[],...,[ 1102110 被稱(chēng) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 4 為函數(shù) )(xg 關(guān)于節(jié)點(diǎn) xxxxn,......, 210的 n 階差商。但是用 Lagrange 插值多項(xiàng)式計(jì)算較高次的插值時(shí)，在添加一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和其計(jì)算時(shí)，表達(dá)式也要經(jīng)過(guò)重新計(jì)算，計(jì)算量明顯的增大。要求一個(gè)次數(shù) 不超過(guò) 12?n 的多項(xiàng)式)(12 xHn? ，使得滿(mǎn)足條件： yxH iin ?? )(12 ， nimxH iin , .. .. .. ,2,1,0,)(12 ??? ? . 則稱(chēng)滿(mǎn)足這種條件的多項(xiàng)式為 Hermite 插值多項(xiàng)式。以下介紹常用的分段線(xiàn)性插值 ]81[， . 設(shè)有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) ba xxxn ????? ?10，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 yyyn, 10 ?.若記 xxiinih ?? ???? 110m ax，有 )(xIn 滿(mǎn)足： （ 1） )(xIn 屬于 ],[ baC ； （ 2） yxIiin ?)(； （ 3）在任一個(gè)小區(qū)間 ],[1xx ii ?上， )(xIn 是線(xiàn)性多項(xiàng)式 . 則稱(chēng) )(xIn 為分段線(xiàn)性插值函數(shù)（其中 ni ,2,1,0 ?? ） .所以在每個(gè)小區(qū)間],[ 1xx ii ? 上，可表示為： ?)(xIn xx xyxx xyiiiiiiii xx ?????????1111 誤差估計(jì)由定理給出： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 7 定理 ]6,1[ 若 ?)(xf ],[2 baC ，記 )(m ax2 xfbxaM ?? ??， 則 對(duì)],[ bax?? . ??xIn 有誤差函數(shù)或余項(xiàng)估計(jì)： MhIR xxfx nn 228)()()( ??? . 分段 低次插值函數(shù)有很好的一致收斂性和穩(wěn)定性，它計(jì)算量小，在實(shí)際生活中用到是最廣的 .但它的光滑性太差 . 三次樣條插值法 三次樣條插值法也是一種分段插值法。現(xiàn)在假如存在一個(gè)分段函數(shù) )(xS ，且 ???xS???????)()()(21xxxSSSn? ],[],[],[12110xxxxxxnnxxx????? 使得 ??xS 在以下條件：（ 1） yxkkS ?)(； （ 2） )(xS 的二階導(dǎo)數(shù)在 ],[ ba 上連續(xù)； （ 3） )(xS 在每個(gè)小區(qū)間 ],[1xx kk ?為三次多項(xiàng)式 . 恒成立，其中（ nk ,2,1,0 ?? ），則稱(chēng) )(xS 為三次樣條插值函數(shù) . 誤差估計(jì)由定理給出： 定理 ]6,1[ 設(shè) ],[)( 4 baxf C? ，且記 ,)()4(4 m ax xfM bxa ??? xx kknkh ?? ???? 110m ax ,則對(duì) ].[ bax?? ，都有 )(xS 的誤差估計(jì)式 : 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 8 .2,1,0,)()( 44)()( ??? ? ixx MhCSf iiki 三次樣條插值函數(shù)它同樣具有良好的收斂性和逼近性，它在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，即曲線(xiàn)光滑。同時(shí)從例題中還可以看出用 Hermite 插值公式計(jì)算得出的結(jié)果遠(yuǎn)比運(yùn)用 Lagrange 插值公式和 Newton插值公式得到的結(jié)果精確 . 例 2 ]12,11,1[ 給定一個(gè)函 ? ? ，xxf 21 1?? 55 ??? x ， 現(xiàn)在給出等距 離的插值節(jié)點(diǎn) nixi 105???，其中 ni ,2,1 ?? .分別試用Lag
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