數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項(xiàng)式的比較分析-文庫(kù)吧
2025-02-07 01:50 本頁(yè)面
【正文】 有的函數(shù) )(xf 只 能給出它在平面上一些離散的點(diǎn)和這些點(diǎn)的函數(shù)值，而函數(shù) )(xf 的具體解析表達(dá)式則不能給出，在這樣的情況下，選用近似函數(shù) )(x? 來(lái)逼近函數(shù) )(xf 。在數(shù)學(xué)上有多種方法 逼近函數(shù)，本文主要討論怎樣運(yùn)用插值法去逼近函數(shù)， 比較插值法的優(yōu)缺點(diǎn)，并 討 論插值法的適用范圍。 1 、幾種常見(jiàn)的插值公式及其構(gòu)造 插值法是函數(shù)插值法的簡(jiǎn)稱，它的基本思想是：構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單便于計(jì)算的函數(shù) )(x? 去逼近原函數(shù) )(xf ，通過(guò)計(jì)算逼近函數(shù) )(x? 在某一點(diǎn)的值從而得到原函數(shù) )(xf 在這一點(diǎn)的近似值， 而求 )(x? 的方法就 稱為插值法。下面給出插值函數(shù)的一般定義： 定義 ]432,1[ ， ：已知 )(xf （可能未知或表達(dá)式非常復(fù)雜）是定義在區(qū)間 ],[ ba上的函數(shù)，在這個(gè)區(qū)間上有 1?n 個(gè)彼此不相同的點(diǎn) xxxxn,......, 210,且對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 )(), .. .. . .,(),(),( 210 xxxx nffff 。尋找一個(gè)簡(jiǎn)單、便于計(jì)算的函數(shù))(x? ，使 )(x? 滿足： ., .. .. .. ,2,1,0),()( nkf xx kk ??? 通常稱 ],[ba 為 插 值區(qū) 間， )(xf 為 被 插 值 函數(shù) ， )(x? 為插值函數(shù)，xxxx n,......, 210 為插值節(jié)點(diǎn)。其中當(dāng) )(x? 是多項(xiàng)式時(shí)，稱為代數(shù)插值方法， 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 2 即多項(xiàng)式插值。若設(shè) )(xR 為誤差函數(shù)或余項(xiàng)，則有 )()()( xxfxR ??? .而且)(xR 滿足關(guān)系式 : .,.. .. .. ,2,1,0,0)( nkR x k ?? Lagrange 插值法 已知 Lagrange 插值是為 n 次多項(xiàng)式插值，首先考察低次的插值多項(xiàng)式。當(dāng) 1?n 時(shí)，要構(gòu)造出過(guò)兩點(diǎn) ),(00 yx與 ),(11 yx的多項(xiàng)式 )(1xL（次數(shù)不超過(guò)1 次且 xx10?），使得 ,)(001 yxL ? yxL 111 )( ?。則 )(1xL 可以寫(xiě)成 ]5,1[ ： ?)(1 xL y0 ???xx xx101 y1 xx xx010?? )( 它是兩個(gè)線性函數(shù) ?)( 00 xl ，x xx x101?? ?)( 11 xl xx xx010?? 的線性組合，所以稱 )( 為線性插值多項(xiàng)式 . 當(dāng) 2?n 時(shí)，相應(yīng)的構(gòu)造出過(guò)三點(diǎn) ),(00 yx ),( 11 yx ),( 22 yx的多項(xiàng)式)(2xL （ 次 數(shù) 不 超 過(guò) 2 且 xxx 210 ?? ） ， 使 得,)( 001 yxL ? ,)( 111 yxL ? yxL 221 )( ? 。則 )(2xL 可寫(xiě)成： ?)(2 xL y0 ?)( 00 xl ?)( 111 xly )( 222 xly y0? ??? ?? ))(( ))((202121 xxxx xx xx y1 ??? ?? ))(( ))((210120 xxxx xx xx y2 ))(( ))((120210 xxxx xx xx ?? ?? )( 式 )( 被稱為拋物線插值多項(xiàng)式。 同 理 ， 當(dāng) xxxx n???? ... .. .210 為 插 值 節(jié) 點(diǎn) 時(shí) ， 有.),. ... .,2,1,0()( niyxL iin ?? ,則 )(xLn 可寫(xiě)成： ?)(xLn ??? )(0 xni iily ))... ()()... (())... ()()... ((1101100 xxxxxxxxxxxxyniiiiiiniini ixxxx ???? ?????????? )( 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 3 式 )( 被稱為 Lagrange 插值多項(xiàng)式 . 在 )( ， )( ， )( 式子中， )(xlik均為插值基函數(shù)，且滿足： ?)(xlik ???01 ki ki??，即得 ?)(xlk ), . . . . . . ,2,1,0(0nixnkii ikixx x ??????. 誤差估計(jì)由定理形式給出： 定理 ]7,6,1[ 設(shè) xxxxn,......, 210為區(qū)間 ],[ ba 上互不相同的節(jié)點(diǎn)，? ? ],[ baxf Cn? ，且 )()1( xf n? 在 ),( ba 內(nèi)存在， )(xLn 滿足 yxL iin ?)( 的插值多項(xiàng)式，則對(duì) ),(],[ babax ???? ? ，使得 ?? )()( xfxRn ?)(xLn )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ??? . 還可寫(xiě)成其截?cái)嗾`差： )()!1()( 11 xnx nnn MR ? ????.其中 )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?，)()( 01 ??? ?? ni in xxx? . Lagrange 插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)式簡(jiǎn)單明確、便于推導(dǎo)、格式整齊規(guī)范；缺點(diǎn)是沒(méi)有承上啟下性和計(jì)算量大，即當(dāng)需要增加、減少新的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)位置變化時(shí)，就得從新計(jì)算所以的函數(shù) )(xlik。 Newton 插值法 在介紹 Newton 插值法之前，先來(lái)了解一下什么是差商 ? 給定了函數(shù) )(xg 在節(jié)點(diǎn) xx，10 處的函數(shù)值 )(),( 10 xx gg 。那么有形如：xx xxxx ggg 01 0110 )()(],[ ??? ，稱 ],[ 10 xxg 為函數(shù) )(xg 關(guān)于節(jié)點(diǎn) xx，10 處的一階差商。同理給出 在節(jié)點(diǎn) xxxx n,......, 210 處的函數(shù)值 )(), ... .. .,(),( 10 xxx nggg 。則xx xxxxxxxxx on nnn ggg ??? ? ],...,[],...,[],...,[ 1102110 被稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 4 為函數(shù) )(xg 關(guān)于節(jié)點(diǎn) xxxxn,......, 210的 n 階差商。所以可得到差商表如下所
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