數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文一類線性變換多項式的維數(shù)特征孫甜(編輯修改稿)
2025-02-12 14:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 變換或矩陣多項式，較簡單的獲得現(xiàn)行文獻[1～8]中許多結(jié)果.本文的主要結(jié)果是：定理1 設(shè)，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換，則的充分必要條件是.定理2 設(shè)，是數(shù)域上維線性空間上一個線性變換，則.定理3 設(shè)兩兩互素，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換，則.定理4 設(shè)，兩兩互素，.本文中用表示單位矩陣，表示線性空間的恒等變換，表示線性變換的核，表示線性變換的象，表示.２ 引理及定理證明引理1 設(shè)，是數(shù)域上維線性空間的一個線性變換，則.證明 因為，所以存在，使得，則，這里是線性空間的恒等變換.設(shè)，下證：設(shè)，則，由上式得.記，則. 由，得，同理得到，故，即得又易知，故，于是.再證：，則，那么，即，所以.定理１的證明由引理1得到：.于是. (必要性) 若，則注意到:與即得.(充分性) 若，則，于是. 在文獻[7］中，對矩陣秩的一個重要不等式，給出了它取等號的一個充分必要條件，即下面的引理2，借助該引理，我們可以把定理1推廣成一個更一般的結(jié)果（前文的定理2）：引理2[7] 設(shè)、分別為和矩陣，則的充分必要條件為存在矩陣、使得.定理2的證明設(shè)為的一組基，在該基下的矩陣為，則、在該基下的矩陣分別為、而且、及因為，所以存在，使得，則，由引理2，得于是.推論1 設(shè)，，則.推論2 設(shè)兩兩互素，則.定理3的證明 因為，由定理2，得，所以=即得
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