chebyshev多項(xiàng)式(編輯修改稿)
2024-08-22 07:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?第 8頁(yè) /共 20頁(yè) ( ) c o s c o s ( a r c c o s ) , 0 , 1 , .nT x n n x n?? ? ?由上式知， 當(dāng) ,k k n?? ? 即 c o s ( 0 , 1 , , )k kx k nn??? 時(shí)， ()nTx 在 kx 處交錯(cuò)地取最大值 1 和最小值 1 。 由 Chebyshev定理知 ： 是 nx 在 [ 1 , 1 ]? 上的 1n ? 次最佳逼近多項(xiàng)式 。 *11 2 ( )nnnnp x T x?? ??第 9頁(yè) /共 20頁(yè) 定理 在首項(xiàng)系數(shù)為 1的所有 n次多項(xiàng)式中 , *1( ) 2 ( )nnnp x T x??對(duì)零的偏差最小。 則 ()npx推論 設(shè) 是首項(xiàng)系數(shù)為 1的 n次多項(xiàng)式， 1| | 1m a x | ( ) | 2 .nnnxp p x????( ) c o s c o s ( a r c c o s ) , 0 , 1 , .nT x n n x n?? ? ?—— Chebyshev多項(xiàng)式 第 10頁(yè) /共 20頁(yè) 性質(zhì) 3 Chebysh ev 多項(xiàng)式序列0{ ( ) } ,nkTx在區(qū)間[ 1 , 1 ]? 上關(guān)于 權(quán)函數(shù)211 x?正交，且有 1210, ,( ) ( )/ 2, 0,1, 0.mnmnT x T xdx m nxmn??????? ? ??? ?????性質(zhì) 4 ()nTx 在區(qū)間 [ 1 , 1 ]? 上恰有 n 個(gè)不同的實(shí)根 ( 2 1 )c o s , 1 , 2 , , .2kkx k nn????第 11頁(yè) /共 20頁(yè) 代數(shù)插值多項(xiàng)式余項(xiàng)的極小化 二、 Chebyshev多項(xiàng)式的兩個(gè)重要應(yīng)用 函數(shù) ()fx 關(guān)于 [ 1 , 1 ]? 上彼此互異的節(jié)點(diǎn) 01 , , , nx x x的n 次插值多項(xiàng)式 ( ) ,npx 有 下列 余項(xiàng)估計(jì)式 ( 1 )0| | 1ma x | ( ) ( ) | .( 1 ) !nnn xff p x x x xn??? ?
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