chebyshev多項式(編輯修改稿)
2024-08-22 07:00 本頁面
【文章內容簡介】 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?第 8頁 /共 20頁 ( ) c o s c o s ( a r c c o s ) , 0 , 1 , .nT x n n x n?? ? ?由上式知， 當 ,k k n?? ? 即 c o s ( 0 , 1 , , )k kx k nn??? 時， ()nTx 在 kx 處交錯地取最大值 1 和最小值 1 。 由 Chebyshev定理知 ： 是 nx 在 [ 1 , 1 ]? 上的 1n ? 次最佳逼近多項式 。 *11 2 ( )nnnnp x T x?? ??第 9頁 /共 20頁 定理 在首項系數為 1的所有 n次多項式中 , *1( ) 2 ( )nnnp x T x??對零的偏差最小。 則 ()npx推論 設 是首項系數為 1的 n次多項式， 1| | 1m a x | ( ) | 2 .nnnxp p x????( ) c o s c o s ( a r c c o s ) , 0 , 1 , .nT x n n x n?? ? ?—— Chebyshev多項式 第 10頁 /共 20頁 性質 3 Chebysh ev 多項式序列0{ ( ) } ,nkTx在區(qū)間[ 1 , 1 ]? 上關于 權函數211 x?正交，且有 1210, ,( ) ( )/ 2, 0,1, 0.mnmnT x T xdx m nxmn??????? ? ??? ?????性質 4 ()nTx 在區(qū)間 [ 1 , 1 ]? 上恰有 n 個不同的實根 ( 2 1 )c o s , 1 , 2 , , .2kkx k nn????第 11頁 /共 20頁 代數插值多項式余項的極小化 二、 Chebyshev多項式的兩個重要應用 函數 ()fx 關于 [ 1 , 1 ]? 上彼此互異的節(jié)點 01 , , , nx x x的n 次插值多項式 ( ) ,npx 有 下列 余項估計式 ( 1 )0| | 1ma x | ( ) ( ) | .( 1 ) !nnn xff p x x x xn??? ?
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