【文章內(nèi)容簡介】 C 的漸近線 . 曲線的漸近線包括三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線 . 若 ? ?1limx f x b??? ?,則 1yb? 是一條水平漸近線；又有 ? ?2limx f x b??? ?,則 2yb? 也是一條 （若12bb? ,則當(dāng)然只能算一條） . 10 若存在 0x ,使 ? ?0limxxfx?? ??（或 ? ?0limxxfx?? ??）則 0xx? 是一條垂直漸近線 ,這樣的 0x 先由觀察法觀得 ,一般考慮分母為零處、對數(shù)的真數(shù)為零處 . y ax b??是曲線 ()y f x? 的一條漸近線的充要條件是 ()limxfx ax??? ?, lim ( ( ) )x f x ax b??? ??.這里也可以改成 x??? .若 0a? 成立 ,即為水平漸近線 . 例 8 求 ? ? ? ?? ?2341xfx x?? ?的漸近線 . 解 已知 ? ?? ?213lim 41xx x??? ? ??? , ? ?? ?213lim 41xx x??? ? ??? .則 1x? 是曲線的垂直漸近線 . 又有 41)1(4 )3(l im)(l im2 ????? ???? xxxxxfa xx ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 223 6 9 5 9 5l i m l i m l i m l i m4 1 4 4 1 4 1 4x x x xx x x x x x xb f x k x x x x? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ???. 直線 1544yx??,即 45xy??是曲線的漸近線 . 注 無窮區(qū)間的曲線 ? ?y f x? 具有什么樣的 性質(zhì)才是具有漸近線？由觀察不難得到以下的簡易判別法：設(shè) ? ? ? ?? ?PxfxQx?,當(dāng) ??Px與 ??Qx都是連續(xù)函數(shù)時 ,若 ? ? 0Qa? 且 ? ? 0Pa? ,則直線xa? 是曲線 ? ?y f x? 的垂直漸近線 . 當(dāng) ??Px是 n 次多項式 , ??Qx是 m 次多項式（ ? ? ? ?? ?PxfxQx?） ,若 1nm??則曲線 ? ?y f x? 有斜漸近線 。若 nm? ,則曲線 ? ?y f x? 有水平漸近線 . 當(dāng) ??Px與 ??Qx是無理函數(shù)時 ,沿 ??Px與 ??Qx的最高次冪分別是正數(shù) ? 與 ? ,若 1????則曲線 ? ?y f x? 有斜漸近線 。若 ??? 則曲線 ? ?y f x? 有水平漸近線 . 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用描點法描繪了一些簡單函數(shù)的圖像 ,但是描點法有缺陷 .這是因為描點法所選取的點不可能很多 ,而一些關(guān)鍵性的點 ,如極值點、拐點等可能漏掉 ,曲線的單調(diào)性、凹凸性等一些重要的 11 形態(tài)也沒有掌握 .因此 ,用描點法所描繪的函數(shù)圖像常常與真實的函數(shù)圖像相差很多 .現(xiàn)在 ,我們已經(jīng)掌握了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值性、凹凸 性、拐點等的方法 ,從而就能比較準確地描繪函數(shù)的圖像 .描繪函數(shù)的圖像可按下列的步驟進行 : ⑴ 確定函數(shù) ()y f x? 的定義域 。 ⑵ 考察函數(shù) ()y f x? 是否具有某些特性（奇偶性、周期性） 。 ⑶ 考察函數(shù) ()y f x? 是否有垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線 .如果有漸近線 ,將漸近線求出來 。 ⑷ 求出函數(shù) ()y f x? 的單調(diào)區(qū)間、極值列表 。 ⑸ 求出函數(shù) ()y f x? 的凹凸區(qū)間和拐點、列表 。 ⑹ 確定一些特殊點如曲線 ()y f x? 與坐標軸的交點 ,容易計算函數(shù)值 ()fx 的一些點( 00, ( )x f x ). ⑺綜合上述討論結(jié)果畫出函數(shù)圖象 . 典型例題分析 例 9 作出函數(shù)23)1(2 ?? xxy的圖形 . 解 由題意知函數(shù)的定義域為 ),1()1,( ???? ? ,易知 ,(0,0) 是函數(shù)23)1(2 ?? xxy與坐標軸的交點 , )3()1(2 32 ???? xxxy,令 0??y 有 , 3,0 21 ?? xx 是23)1(2 ?? xxy的兩個駐點 , 13?x 是不可導(dǎo)點 ,4)1( 3???? x xy,令 0??y 有 , 04?x ,? )0,0( 是拐點 ,所以列表如下 : x )0,(?? 0 (0,1) 1 )3,1( 3 ),3( ?? y? ? 0 ? 不存在 － 0 ? y? － 0 ? 不存在 ? ? ? 23)1(2 ?? xxy 凹 拐點 )0,0( 凸 不存在 凸 極小值 827 凸 12 ???? yx 1lim ,? 1?x 是垂直漸近線 , ? 21)1(2limlim 22 ???? ???? xxxya xx , ? 3 2 222( 1 ) 2l im ( ) l im l im 12 2 ( 1 ) 2 ( 1 )x x xx x x x x xby xx? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???, ? 其斜漸近線為 1 12yx?? 以上 討論 運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)為進一步研究函數(shù)性質(zhì) 提供了依據(jù) ,解決了函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、圖象等問題， 同時我們也掌握了 更精確的畫函數(shù)圖像的方法 .我們 在電腦中可以借助aMathematic 和 word 等工具來完成 作圖 ,并且對高中導(dǎo)數(shù)部分的學(xué)習(xí)和教學(xué)也具有一定的指導(dǎo)意義 . 參考文獻： 【 1】劉玉璉、傅沛仁 .《 數(shù)學(xué)分析講義》第四版 . 高等教育出版社 .2021年版 . 【 2】蔡燧林、胡金德 .《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義 》 學(xué)苑出版社 .2021年版 . 【 3】華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .《數(shù)學(xué)分析 》 高等教育出版社 .2021年版 . 【 4】錢吉林 .《 數(shù)學(xué)分析題解精粹》中央民族大學(xué)出版社 .2021年版 . 【 5】裴禮文 .《 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》高等教育出版社 .2021年版 . 內(nèi)部資料 13 請勿外傳 項 目 經(jīng) 理項 目 副 經(jīng) 理 項 目 總 工 質(zhì) 安 總 監(jiān)工程管理部物資管理部技術(shù)管理部檢測試驗室質(zhì)安管理部監(jiān) 督 工 程 管 理部 、 物 資 管 理部 、 檢 測 試 驗 室現(xiàn) 場 質(zhì) 檢 員 、 施 工 員施 工 班 組 9JWKf wvGt YM*Jgamp。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 QA9wkxFyeQ^! djsXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 UE9aQ@Gn8xp$Ramp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE% amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE% amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuW FA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3tnGK8! z89Am UE9aQ@Gn8xp$Ramp。 849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3tnGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE% amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 QA9wkxFyeQ^! dj sXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 UE9aQ@Gn8xp$Ramp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^G89Am UE9aQ@Gn8xp$Ramp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQc@UE% amp。qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5ux^Gjqv^$UE9wEwZQc@UE% amp。qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 QA9wkxFyeQ^! djsXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 UE9aQ@Gn8xp$Ramp。 849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。M uWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE% amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am UE9aQ@Gn8xp$Ramp。 849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE% amp。 qYp@ Eh5pDx2zVkum amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkum amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQc@UE%amp。 qYp@Eh5pDx2zVkumamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWv*3tnGK8! z89Am YWpazad