【正文】 ( 1 ) ( 2 ) 06 1 8 1 2 4()56 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 ) 02x x xxxfx xxx x x? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ????? ? ?? ? ? ? ? ???. 又因為 ( 0 0) 12 , ( 0 0) 12ff??? ? ? ? ?,所以由導(dǎo)數(shù)極限定理推知函數(shù)在 0x? 處不可導(dǎo) ,求出函數(shù) 7 ()fx在穩(wěn)定點 1與 2,不可導(dǎo)點 0x? ,以及端點 15,42x?? 的函數(shù)值 1 1 1 5 5( 1 ) 5 , ( 2 ) 4 , ( 0 ) 0 , ( ) , ( ) 54 3 2 2f f f f f? ? ? ? ? ?. 所以函數(shù) ()fx在 0x? 處取得最小值 0 ,在 1x? 和 52x? 處取得最大值 5. 應(yīng)用問題的最值的求法 ⑴ 建模：建立目標函數(shù)的表達式 ()y f x? 及相應(yīng)的定義區(qū)間 I ； ⑵ 如果 ()fx在 I 內(nèi)可導(dǎo) ,則求出 ()fx在 I 內(nèi)的一切駐點； ⑶ 如果 I 內(nèi)只有一個駐點 ,并且經(jīng)檢驗是極大（?。┲迭c ,則在此惟一駐點處函數(shù)必為最 大（?。┲?. 注 這里 ⑵⑶ 中的“如果” ,必須認真檢查是否真的滿足 . 在實際生活中最值的應(yīng)用 例 6 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比 .已知當速度為 10( / )km h ,燃料費為每小時 6元 ,而其他與速度無關(guān)的費用為每小時 96元 ,問輪船的速度為多少時 ,每航行 1km 所消耗的費用最小？ 解 設(shè)船速為 ( / )xkmh ,據(jù)題意 ,每航行 1km 的耗費為 31 ( 96)y kxx??. 由已知 ,當 10x? 時 , 310 6k??,故由已知 ,當 10x? 時 , 310 6k??,故得 ? ,所以有31 ( 0 . 0 0 6 9 6 ) , ( 0 , )y x xx? ? ? ? ?. 令 320 .0 1 2 ( 8 0 0 0 ) 0yxx? ? ? ?,求得穩(wěn)定點 20x? .由極值第一充分條件檢驗得 20x? 是極小值點 ,由于在 (0, )?? 上該函數(shù)處處可導(dǎo) ,且只有惟一的極值點 ,當它為極小值點時比為最小值點 ,所以求得當船速為 20( / )km h 時 ,每航行 1km 的耗費為最少 ,其值為 2m in 960 .0 0 6 2 0 7 .220y ? ? ? ?元 . 函數(shù)最 值的幾個特例 : ⑴ 單調(diào)函數(shù)的最值 。 當 0x 為極小值點時 , 0x 亦為最小值點 。 ⑷ 對具有實際意義的函數(shù) , 常用實際判斷原則確定最大 (或小 )值點 . 8 凹 凸性 上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值 ,這對函數(shù)性狀的了解是有很大作用的 .為了更深入和較精確地掌握函數(shù)的性狀 ,我們在這里再講述一下有關(guān)函數(shù) 凹 凸性的概念及其與函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 .討論函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 I 嚴格增加還不夠 ,因為函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 I 嚴格增加還有不同的方式 .例如 ,函數(shù) 2yx? 與 yx? 在區(qū)間 [0, )?? ,顯然都是嚴格增加的 ,但它們增加的方式不同 . 定義 1 設(shè) ()fx為定義在區(qū)間 I 上 的任意兩點 12,xx和任意實數(shù) (0,1)?? ,總有1 2 1 2( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ?,則稱 ()fx為 I 上的凸函數(shù) ,反之 ,如果總有1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ?,則稱 ()fx為 I 上的凹函數(shù) . 定義 2 設(shè)曲線 ? ?y f x? 在點 ( 00, ( )x f x )的一邊為上凸 ,一邊為下凸 ,則稱 ( 00, ( )x f x )為曲線的拐點 . 注 若 ( 00, ( )x f x )是曲線 ? ?y f x? 的一個拐點 , ? ?y f x? 在點 0x 的導(dǎo)數(shù)不一定存在 ,如3yx? 在 0x? 的情形 . （拐點必要條件） 若 ( 00, ( )x f x )為拐點 ,則要么（ 1） 0( ) 0fx?? ? ；要么（ 2） ()fx在 0x 點不可導(dǎo) . 定理 1 設(shè)函數(shù) ()fx在開區(qū)間 I 是凸函數(shù)（凹函數(shù)） ? 12,x x I??,且 12xx? ,有12( ) ( )f x f x??? 12( ( ) ( ))f x f x??? . 推論 若函數(shù) ()fx在開區(qū)間 I 存在二階導(dǎo)數(shù) , ⑴ xI?? ,有 ( ) 0fx?? ? ,則函數(shù) ()fx在區(qū)間 I 上嚴格凸函數(shù)； ⑵ xI?? ,有 ( ) 0fx?? ? ,則函數(shù) ()fx在區(qū)間 I 上嚴格凹函數(shù) . 定理 2 設(shè)函數(shù) ()fx在開區(qū)間 I 可導(dǎo) ,函數(shù) ()fx在 I 內(nèi) 是凸函數(shù)（凹函數(shù)） ? 曲線 ()y f x? 位于它的任意一點切線 . 若函數(shù) ()fx存在二階導(dǎo)數(shù) ,討論函數(shù) ()fx得 凹 凸性和拐點可按下列步驟進行 : 第一步 ： 求函數(shù) ()y f x? 二階導(dǎo)函數(shù) ()fx?? ； 9 第二步：令 ( ) 0fx?? ? ,求解 .其解將函數(shù) ()fx的定義域分成若干個開區(qū)間； 第三步：判別 ()fx?? 在每個小區(qū)間的符號 ,設(shè) ( ) 0fc?? ? ,由下表可知函數(shù) ()fx得 凹 凸性和拐點 . (, )ac c (, )cb 曲線 ()y f x? 上的點 ( , ( ))c f c ()fx?? ( ( ))fx +(嚴 凸 ) 0 （ 嚴 凹 ） 拐 點 （ 嚴 凹 ） 0 +(嚴 凸 ) 拐 點 +(嚴凸 ) 0 +(嚴凸 ) 非 拐 點 （ 嚴 凹） 0 （ 嚴 凹 ） 非 拐 點 例 7 討論函數(shù) 43( ) 2 1f x x x? ? ?的 凹 凸性及其拐點 . 解 函數(shù)的定義域是 R , 32( ) 4 6f x x x? ?? , ( ) 12 ( 1)f x x x?? ??令 ( ) 0fx?? ? 其解是 0 與 們將定義域 R 分成三個區(qū)間： ( , 0), (0 ,1), (1, )?? ??.列表如下： ( ,0)?? 0 (0,1) 1 (1, )?? ()fx?? + 0 _ 0 + ()fx 嚴 凸 拐點 嚴 凹 拐 點 嚴 凸 顯然 ()fx在 ( ,0)?? 與 (1, )?? 是嚴凸 ,在 (0,1) 嚴凹 .曲線上的點 (0,1） 與 (1,0） 都是拐點 . 注 若 00( , ( ))x f x 曲線 ()y f x? 的拐點 , ()y f x? 在 0x 的導(dǎo)數(shù)不一定存在 . 定義 當曲線 C 上動點 P 沿著曲線 C 無限遠移時 ,若動點 P 到某直線 l 的距離無限趨近于 0 ,則稱直線 l 是曲線 C 的漸近線 . 曲線的漸近線包括三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線 . 若 ? ?1limx f x b??? ?,則 1yb? 是一條水平漸近線；又有 ? ?2limx f x b??? ?,則 2yb? 也是一條 （若12bb? ,則當然只能算一條） . 10 若存在 0x ,使 ? ?0limxxfx?? ??（或 ? ?0limxxfx?? ??）則 0xx? 是一條垂直漸近線 ,這樣的 0x 先由觀察法觀得 ,一般考慮分母為零處、對數(shù)的真數(shù)為零處 . y ax b??是曲線 ()y f x? 的一條漸近線的充要條件是 ()limxfx ax??? ?, lim ( ( ) )x f x ax b??? ??.這里也可以改成 x??? .若 0a? 成立 ,即為水平漸近線 . 例 8 求 ? ? ? ?? ?2341xfx x?? ?的漸近線 . 解 已知 ? ?? ?213lim 41xx x??? ? ??? , ? ?? ?213lim 41xx x??? ? ??? .則 1x? 是曲線的垂直漸近線 . 又有 41)1(4 )3(l im)(l im2 ????? ???? xxxxxfa xx ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 223 6 9 5 9 5l i m l i m l i m l i m4 1 4 4 1 4 1 4x x x xx x x x x x xb f x k x x x x? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ???. 直線 1544yx??,即 45xy??是曲線的漸近線 . 注 無窮區(qū)間的曲線 ? ?y f x? 具有什么樣的 性質(zhì)才是具有漸近線？由觀察不難得到以下的簡易判別法：設(shè) ? ? ? ?? ?PxfxQx?,當 ??Px與 ??Qx都是連續(xù)函數(shù)時 ,若 ? ? 0Qa? 且 ? ? 0Pa? ,則直線xa? 是曲線 ? ?y f x? 的垂直漸近線 . 當 ??Px是 n 次多項式 , ??Qx是 m 次多項式（ ? ? ? ?? ?PxfxQx?） ,若 1nm??則曲線 ? ?y f x? 有斜漸近線 。若 ??? 則曲線 ? ?y f x? 有水平漸近線 . 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用描點法描繪了一些簡單函數(shù)的圖像 ,但是描點法有缺陷 .這是因為描點法所選取的點不可能很多 ,而一些關(guān)鍵性的點 ,如極值點、拐點等可能漏掉 ,曲線的單調(diào)性、凹凸性等一些重要的 11 形態(tài)也沒有掌握 .因此 ,用描點法所描繪的函數(shù)圖像常常與真實的函數(shù)圖像相差很多 .現(xiàn)在 ,我們已經(jīng)掌握了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值性、凹凸 性、拐點等的方法 ,從而就能比較準確地描繪函數(shù)的圖像 .描繪函數(shù)的圖像可按下列的步驟進行 : ⑴ 確定函數(shù) ()y f x? 的定義域 。 ⑶ 考察函數(shù) ()y f x? 是否有垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線 .如果有漸近線 ,將漸近線求出來 。 ⑸ 求出函數(shù) ()y f x? 的凹凸區(qū)間和拐點、列表 。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 UE9aQGn8xp$Ramp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3tnGK8! z89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3tnGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 QA9wkxFyeQ^! dj sXuyUP2kNXpRWXm Aamp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^G89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 QA9wkxFyeQ^! djsXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。M uWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp