【正文】 的概念、定義及不定積分的幾個(gè)積分方法 3 原函數(shù)與不定積分的概念理解 原函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 有定義，存在函數(shù) ()Fx，若 Ix?? ，有 )()(39。 例如： Rx?? , )(sin ?x = xcos ,即 xsin 是 xcos 的原函數(shù)。 由例子可知，若函數(shù) ()fx存在原函數(shù) ()Fx，則這個(gè)原函 數(shù) )(xF 加上任意常數(shù) C ,即 CxF ?)( 也是函數(shù) ()fx的原函數(shù)， ? ?? ?39。 定理 若 )(xF 是函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 的一個(gè)原函數(shù)，則函 數(shù) f(x)的無(wú)限多個(gè)原函數(shù)僅限于 CxF ?)( （ Rc?? ）的形式。設(shè) )(x? 是函數(shù) )(xf 的任意（注意“任意”二字）一個(gè) 原函數(shù)，即 Ix?? ，有 )()( xfx ??? ，兩式相減，有以下的式子： ? ? 0)()()()()()( ?????????? ? xfxfxfxxFx 或 ? ? 0)()( ???? xFx 。 4 這個(gè)定理指出，一個(gè)函數(shù)的無(wú)限多個(gè)原函數(shù)彼此僅相差一個(gè) 常數(shù)。 不定積分的定義：函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 的所有原函數(shù) cxF ?)( （ Rc?? ）稱(chēng)為函數(shù) f(x)的不定積分，表為： ? ?? cxFdxxf )()( （ )()( xfxF ?? ），其中 f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)， dxxf )( 稱(chēng)為被積表達(dá)式， C 稱(chēng)為積分 常數(shù)。 例如：函數(shù) 00 00,11)( ?????????? xxxxf 在 x=0 點(diǎn)不可導(dǎo)，我們說(shuō)，在 )0,(?? ， 1)39。 ???? xx ,x 是 )(xf 的原函數(shù)；在 xxx ,139。),0( ??? 是 ()fx的原函數(shù)；但不能說(shuō)在 ? ?,??? 上， x 是 ()fx的原函數(shù)。 5 積分的運(yùn)算性質(zhì)及積分方法 直接積分法 直接積分法就是利用積分公式和積分的基本性質(zhì)求不定 積分 的方法，并且直接積分法關(guān)鍵就是對(duì)被積函數(shù)不管使用什么樣的 變形，最后都要利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本的積分公式，直 接求出不定積分。 性質(zhì)一、設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)， ,0, ?? kRk ,則函 數(shù) kf 也是在 I 上存在原函數(shù)，且 ? ?? dxxfkdxxkf )()( 。該積分的關(guān)鍵是：將被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分 是復(fù)合函數(shù)，其中外函數(shù)是基本積分公式中的某一被積形式，另 一部分是內(nèi)函數(shù)的微分，在計(jì)算的同時(shí)要注意湊微分的過(guò)程中系 數(shù)的調(diào)整。例如求 ? ,2cos2 xdx 這個(gè)不定分與公 式 ? xdxcos 不同，區(qū)別在于后者的被積函數(shù)是積分變量 x 的直接函數(shù)，而前者的被積函數(shù)是積分變量 x 的復(fù)合函數(shù)，故不能直接應(yīng)用公式，但這個(gè)被積函數(shù)是 2)39。 分部積分法，可以利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式推導(dǎo)出來(lái)： 設(shè)函數(shù) )(),( xvvxuu ?? 都有連續(xù)的導(dǎo) 數(shù)，則由函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式 , 39。)39。)39。 ?? ，對(duì)等式兩邊作不定積分得： ? ? ??? dxvudxuvdxuv 39。(39。當(dāng)積分 ?udv 不易計(jì)算，而積分 ?vdu 比較容易計(jì)算時(shí)，就可以利用這個(gè)公式。 例：求 ? xdxln 解：設(shè) ,ln dxdvxu ?? 由分部積分公式，有： ? ???? xxdxxxd x lnlnln = ? ?? dxxxxx 1ln = ?? dxxxln 8 = cxxx ??ln 3 有理函數(shù)的不定積分 定義：由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù)稱(chēng)為有理函數(shù)。 分類(lèi)：若 )(xp 的次數(shù)大于或等于 )(xQ 的次數(shù)，)()(xQxp稱(chēng)為有理 假分式，若 )(xp 的次數(shù)小于 )(xQ 的次數(shù)，)()(xQxp稱(chēng)為有理真分式。 例： 12 643212 32224 ?? ??????? ? xx xxxxx x 9 因?yàn)槎囗?xiàng)式 )(xT 的不定積分易求，所以求有理函數(shù)的不定積分關(guān)鍵在于求有理真分式)()(xQxF的不定積分。 用湊微分法求有理函數(shù)不定積分 定理：若函數(shù) )(xu ?? 在 ? ?ba, 可導(dǎo)，且 ? ??? ,)( auxa ????? ，有 )()(39。)( xxf ?? 存在原函數(shù) ? ?)(xF? ，即： ? ? )(39。 用配項(xiàng)法求有理函數(shù)不定積分 有些有理函數(shù)可 以通過(guò)對(duì)分子進(jìn)行配項(xiàng)，然后將整個(gè)分式分 成兩項(xiàng)或 n 項(xiàng)之和，再針對(duì)每項(xiàng)利用積分公式積分即可。 11 4 有理函數(shù)的運(yùn)用與推廣 有限個(gè)函數(shù)推廣到 n 個(gè)函數(shù)代數(shù)和 法則： ? ?( ) ( ) ( ) ( )f x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 這個(gè)法則可推廣到 n 個(gè)（有限個(gè)）函數(shù)，即 n個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于 n 個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和。因?yàn)榉e分運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以導(dǎo)數(shù)公式中的每一公式反過(guò)來(lái)就得到了不定積分的公式。 求函數(shù)不定積分最后都要?dú)w結(jié)為不定積分表所列的初等函數(shù)的不定 積分。 例 2 求 2(1 2 )x xdx?? 解 1352 2 2 2(1 2 ) ( 4 4 )x x d x x x x d x? ? ? ??? = 1352 2 244x d x x d x x d x??? ? ? = 3 5 72 2 22 8 83 5 7x x x c? ? ? 多項(xiàng)式分解 任何實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 )(xQ 總可以分解為實(shí)系數(shù)一次或二次因式的乘積： vslk hrxxqpxxbxaxbxQ )()()()()( 220 ??????? ?? （部分分式展開(kāi)定理） vvvsllkkhrxxHxRhrxxHxRhrxxHxRqpxxQxPqpxxQxPqpxxQxPbxBbxBbxBaxAaxAaxAxQxP)()()()()()()()()()()()(222222112112222211221221??????????????????????????????????????????????????? 因此有理函數(shù)的積分問(wèn)題就歸結(jié)為求 13 ?? mcxdx)( 和 ??? ? nqpxx NMx )( 2。微積分的思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展學(xué)生智力的關(guān)鍵所在，對(duì)研究有理函數(shù)不定積分有重要作用。從最初的茫然，到慢慢的進(jìn)入狀態(tài)，再到對(duì)思路逐漸的清晰，整個(gè)寫(xiě)作過(guò)程 難以用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。 通過(guò)查閱資料和所學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)，我對(duì)《有理函數(shù)的不定積分的研究》得到以下結(jié)論：解決有理函數(shù)不定積分的主要方法大致有分部積分法、湊微分法、直接積分法幾類(lèi)，直接積分法是利用積分公式和積分的基本性質(zhì)求不定積分，并且直接積分法關(guān)鍵就是對(duì)被積函數(shù)不管使用什么樣的變形，最后都要利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本的積分公式，直接求出不定積分；湊微分法的思想是把所求的被積函數(shù)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后，化成積分公式中的某一被積形式， 然后代積分公式求出積分結(jié)果。 16 在這段時(shí)間里，我與老師建立了濃厚的師生情誼。我與身邊許多同學(xué)，也建立了良好的學(xué)習(xí) 關(guān)系，互幫互助，克服難關(guān)。 在這次畢業(yè)論文撰寫(xiě)中也使我們的同學(xué)關(guān)系更進(jìn)一步了，同學(xué)之間互相幫助，有什么不懂的大家在一起商量，聽(tīng)聽(tīng)不同的看法對(duì)我們更好的理解知識(shí)，所以在這里非常感謝幫助我的同學(xué)。在我的學(xué)業(yè)和論文的研究工作中無(wú)不傾注著老師們辛勤的汗水和心血，老師的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度、淵博的知識(shí)、無(wú)私的奉獻(xiàn)精神使我深受啟迪。通過(guò)本次論文寫(xiě)作， 使我掌握了微積分領(lǐng)域的一些相關(guān)有理函數(shù)不定積分的重要知識(shí)。李老師不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo)，而且在思想、生活上教育我如何為人處事，更是在工作上教育我要有個(gè)人嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，這都對(duì)我論文的完成有難以預(yù)計(jì)的幫助。另外我還要感謝與我一起快樂(lè)成長(zhǎng)的畢業(yè)論文小組同學(xué)們，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個(gè)一個(gè)的困難和疑惑，直至本文的順利完成。s annual National Day for Eye Care, the China Youth Development ServiceCenter and Zhejiang Medicine, a leading listed Chinese pharmaceutical pany, jointlyannounced the kickoff of the about one month, a questionnaire piled by top eye care medical experts in China willbe distributed through multiple online partners, including m, as well asthrough offline survey events held in universities, middle schools and primary schools acrossthe report will be released based on the survey statistics and analysis, and most importantly,guidelines for parents and youth on how to care for the eyes and prevent myopia — agrowing problem in China39。s behaviors to care for eyes, basedon the timely and factual statistics the survey series of followup events will also be held in six cities, including Jinan in Shandongprovince, and Changsha in Hunan province, to educate people on how to care for eyes afterthe survey started. More and more Chinese are jogging to get and stay fit. Most joggers will run alone, but some will jog with friends or even coaches. The Beijing Olympic Forest Park is one of the most popular spots. It is packed with runners in the afte