【正文】 i n 2 2 s i n c o sx x x?例 5. 求 解 : 原式 = xe xx d)25)2[( ???)2ln ()2(ee x?2ln25 x?Cexx ??????? ???2ln512ln2C?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 6. 求 解 : 原式 = xx d)1(se c 2 ???? ?? xxx dds e c 2 Cxx ??? ta n2222se c 1 ta nc sc 1 c o txxxx????例 7. 求 解 : 原式 = xxxxx d)1()1(22? ???xxd112? ?? xx1??xa rc ta n? Cx ?? ln注意方法 例 8. 求 .d1 24xxx??解 : 原式 = xxx d1 1)1( 24? ? ??xxxx d11)1)(1(222? ? ?????? ???? 22 1 dd)1( xxxxCxxx ???? a rc t a n31 3機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意方法 思考與練習(xí) 1. 若 d)(l n2 ?? xxfx提示 : xe???xe ln???)(ln xfx1??Cx ?? 221機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 若 是 xe? 的原函數(shù) , 則 ?? xx xf d)(l n提示 : 已知 xexf ??? )(0)( Cexf x ???? ?01)(l n Cxxf ???xCxxxf 021)(l n ???CxCx ?? ln1 0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 若 。 若 則 ( C 為任意常數(shù) ) C 稱 為 積分常數(shù) 不可丟 ! 例如 , ?? xe x d Ce x ??? xx d2 Cx ?331?? xx dsi n Cx ?? c o s記作 不定積分的幾何意義 : 的原函數(shù)的圖形稱為 xxf d)(? 的圖形 的所有積分曲線組成 的平行曲線族 . yxo 0x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的 積分曲線 . 例 1. 設(shè)曲線通過點 ( 1 , 2 ) , 且其上任一點處的切線 斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍 , 求此曲線的方程 . 解 : 所求曲線過點 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲線為 12 ?? xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxo)2,1( 性質(zhì) 1 一個函數(shù)積分后導(dǎo)數(shù)或微分等于這個函數(shù)。 — 被積函數(shù) 。微分法 : )?()( ?? xF積分法 : )()?( xf??互逆運算 不定積分 不定積分的概念與性質(zhì) 定義 1： 設(shè) F (x)與 f (x) 是定義在某區(qū)間上的函數(shù)， 如果在該區(qū)間上有 或 ，則稱 F (x)是 f (x) 在這個區(qū)間上的一個 原函數(shù) 。 )()( xfxF ??dxxfxdF )()( ? 原函數(shù) 問題 : 1. 在什么條件下 , 一個函數(shù)的原函數(shù)存在 ? 2. 若原函數(shù)存在 , 它如何表示 ? 定理 1. 存在原函數(shù) . 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 . 原函數(shù)都在函數(shù)族 ( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) . 證 : 1) 又知 ])()([ ???? xFx )()( xFx ??? ?? 0)()( ??? xfxf故 0)()( CxFx ??? )( 0 為某個常數(shù)C即 0)()( CxFx ??? 屬于函數(shù)族 .)( xF ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即 定義 2. 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為 上的不定積分 , 其中 — 積分號 。 — 被積表達(dá)式 . — 積分變量 。 性質(zhì) 2 一個函數(shù)微分后積分，等于這個函數(shù)加上任意常數(shù)。s in1)( xA ? 。c o s1)( xC ? .c o s1)( xD ?提示 : 已知 xxf s in)( ??求 即 B )()( xf??xs in)( ???? ? 或由題意 ,c o s)( 1Cxxf ???其原函數(shù)為 ? xxf d)( 21s in CxCx ????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 求下列積分 : 提示 : )1(1)1(1)1(2222 xxxx ???xxxx 2222 c o ssinc o ssin1)2( ?xx 22 c s cs e c ??xx 22 c o ss in ?22 111xx ??)( 2x? 2x?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 求不定積分 解： )1( 2 ?? xx ee機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6. 已知 ?? ????? 22221d1d1 xxBxxAxxx求 A , B . 解 : 等式兩邊對 x 求導(dǎo) , 得 ?? 221 xx22211xxAxA???21 xB??2212)(xxABA????????????120ABA??????2121BA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、第二類換元法 一、第一類換元法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩種積分法 第 四 章 . 換元積分法 復(fù)合函數(shù)的微分法大大拓展了求導(dǎo)數(shù)（或求積分）的范圍。 1 第一換元積分法 如果不定積分 用基本積分法不易求得，但被積表達(dá)式可分解為 ? dxxf )(作變量代換 ，得到 )( xu ????? ??? duugdxxxgdxxf )()()]([)( ??則 ( ) ( )g u d u G u C???( ) ( ) ,f x d x g u d u???( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ( ) ) ,f x d x g x x d x g x d x? ? ? ????? ? ?而 可以求出，不妨設(shè) ()g u d u?( ) [ ( ) ]G u C G x C?? ? ? ?這