條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用——畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-01-18 05:08本頁面
【正文】 通常用在下列實(shí)際問題中：設(shè)只可能出現(xiàn) 1 2 3H H H， ， ???共有有窮個(gè)或者可列多種不同的情況，而事件 A 只能伴隨著這些情況之一發(fā)生。試在事件 A“此球?yàn)榘浊颉钡臈l件下，求事件 1H “這個(gè)球是屬于甲盒子的”條件概率 ? ?1 |P H A 。 上面的計(jì)算中實(shí)際上已經(jīng)建立了一個(gè)非常有用的公式常常稱為貝葉斯公式。 2 2 2( ) ( ) ( | ) 0 4 08P A B P B P A B? ? ? ? 222 41( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ?? 由此可知，第二條流水線應(yīng)該負(fù)有 %的責(zé)任。例如，對(duì)于第四條流水線，由條件概率的定義知 ? ? 44 ()|= ()P ABP B A PA 在前面的計(jì)算當(dāng)中， 已經(jīng)利用全概率公式來求得 ? ? 4 iii= 1= ( ) ( | )P A P B P A B? = 0. 15 0. 05 0. 20 0. 04 0. 30 0. 03 0. 35 0. 02? ? ? ? ? ? ?==% 而 4 4 4( ) ( ) ( | ) 5 2 07P A B P B P A B? ? ? ? 于是有 444 41( ) ( | ) 0. 00 7 2( | ) 0. 22 20. 03 15 9( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ? ?? 由此可知，第四條流水線應(yīng)該負(fù)有 %的責(zé)任。下面來解決下面的問題。這是題目中告訴我們的。代入 ? ? ? ? ? ?2nnn = 1=|P A P H P A H?中便得到 ? ? a c + 1 b c=+a + b c + d + 1 a + b c + d + 1PA ac+bc+a= (a+b)(c+d+1) 例 2 某個(gè)工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占產(chǎn)量的 15%、 20%、 30% 和 35%，又這四條流水線的不合格品率依次為 、 、 。 解 以 ? ?12HH表事件“自甲盒子中取出的球?yàn)榘祝ê冢┣颉保@然 12HH =? ，12=HH??，所以 ? ?12P H H? =1，又 ? ?1 a= a+bPH 0 ? ?2 b= a+bPH 0 ，由全概率公式 ? ? ? ? ? ?2 nnn = 1=|P A P H P A H? 。 證明 ：由于nn()PH=1 得到nnPH??????（ ）=0 。這個(gè)公式中的條件概率不要從定義出發(fā)來求，而應(yīng)從該條件所限制的一個(gè)較小樣本空間內(nèi)來求古典概率。 例 2 設(shè)一批產(chǎn)品總共有 N 件，其中有 M 件產(chǎn)品是次品，不放回地抽取三件，試求第三件猜抽到的是正品的概率。 如已知前二次都是得到的白球，則 3? 由 a2 個(gè)白球 b 個(gè)黑球構(gòu)成，所以 3 1 2( | )P A AA = a2a2 +b（ ） 。事件 1A 對(duì)第一次試 驗(yàn)的結(jié)果加了條件，1 a( )=a+bPA 。 于是由概率的乘法公式得 1 2 3 a a 1 a 2( ) = a + b a + b 1 a + b 2P A A A ?? 注： 這個(gè)例子中隨機(jī)試驗(yàn) ~E 是復(fù)合的： ~E = 1 2 3E E E?? 。顯然1 a( )=a+bPA 。 證 由于 1()PA ? 12()PAA ? ??? ? 1 2 n1()P A A A??? 0 ，故 1 2 n()P AA A??? = 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1( ) ( | ) ( | ) ( | )P A P A A P A A A P A A A A??? ???右方 出現(xiàn)的條件概率都有意義；由條件概率的定義有 1 2 31 2 1 2 n1 1 2 n1 1 2 1 2 n 1()( ) ( )( ) = ( )( ) ( ) ( )P A A AP A A P A A AP A P A A AP A P A A P A A A?????? ?????? 例 1 設(shè)箱子內(nèi)有 a（ a? 2）個(gè)白球 b個(gè)黑球，在其中接連取三次，每一次取出一個(gè)球，取球后不還原，問三個(gè)取出來 的求都是白球的概率是多少？ 解 以 iA 表示“第 i 次取得白球”這一個(gè)事件， i= 要求的是1 2 3()P AAA 。 概率的乘法定理 定理 1 設(shè) 1A ， 2A ， … .， nA 為 n 個(gè)事件， n ? 2，滿足 1 2 n1()P A A A??? 0 ；則 1 2 n()P AA A??? = 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1( ) ( | ) ( | ) ( | )P A P A A P A A A P A A A A??? ??? 上式稱為乘法公式。 在事件 B 已出現(xiàn)的條件下，事件 A 出現(xiàn)的概率 P(A|B)定義為 P(A|B)= ()()PABPB 對(duì)于古典類型的隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè) B 含有 m 個(gè)不同的基本事件， m0 ， AB 含有 k 個(gè)，以 n 表示 Ω中總共不同的基本事件的個(gè)數(shù)，則 P(A|B)= knmn= km 類似的可以知道，對(duì)于幾何隨機(jī)試驗(yàn)，例如 F(B)0 ，我們有這樣的式子 P(A|B)= ( ) ( )( ) ( )F AB FF B F ??= ? ?? ?LABLB 容易驗(yàn)證，條件概率具有概率定義中的三個(gè)基本性質(zhì)： 如果 P(B)0 ,那么 P（ A|B）作為 A 的集函數(shù)是 F 上的概率；即 （ 1） 對(duì)每個(gè) A?F，有 1? P（ A|B） ? 0 ； （ 2） P（ ? |B） =1 ； （ 3）如 mA ?F， m=1， 2， … . ，兩兩互不相容，則有 mmm = 1m = 1( | ) ( | )P A B P A B? ?
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