凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計畢業(yè)論(編輯修改稿)
2025-07-08 22:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 9。39。39。39。 ?????? ????????? hxhxh ， 從而 ? ? ? ? ? ? ? ?hxhxhxhx ??????? 39。39。39。239。 ????? 再由 ? ? 039。39。 ?x? 得 7 ? ? ? ? ? ?xhxhx 39。??? ??? 在上式中，令2, 211 xxxxhx ????及2, 212 xxxxhx ????得 ? ? ? ?xxxxxx 39。21211 22 ??? ?????? ???????? ?? ? ? ? ?xxxxxx 39。12212 22 ??? ?????? ???????? ?? 兩式相加得 ? ? ? ? 022 2211 ???????? ?? xxxx ??? 故 ??x? 是凸函數(shù)。 證畢 例 函數(shù) ? ? xxx ln?? 在 ? ??,0 內(nèi)是凸函數(shù)，因為 ? ? 039。39。 ?x? 。 定理 若在區(qū)間 I 上存在 ??x39。39。? ， ? ? 039。39。 ?x? ，則 ??x? 在區(qū)間 I 是嚴(yán)格凸函數(shù)。 4 關(guān)于凸函數(shù)的幾個重要不等式 Jensen 不等式 定理 （凸函數(shù)的基本不等式）設(shè) ??x? 是間 I 上的凸函數(shù)，則對 I 中任意 n 個數(shù)nxxx ,..., 21 成立不等式 ? ? ? ? ? ?n xxxn xxx nn ???? ?????????? ??? ...... 2121 當(dāng)僅當(dāng) nxxx ??? ...21 時等號。 定理 （ Jensen 總和不等式）若 ??x? 是 I 上的連續(xù)凸函數(shù)， nppp ,..., 21 是一組不為零的非負(fù)數(shù)，則成立不等式： 8 ? ? ? ? ? ?nnnnnn ppp xpxpxpppp xpxpxp ??? ???????????? ??? ??? ... ...|... ...212211212211 ???? 當(dāng)僅當(dāng) ix 都相等時等式成立。 證明：（ 1）特別地，設(shè) nppp ,..., 21 都是非負(fù)有理數(shù)，nnn lmplmplmp ??? ,...,222111 nlll ..., 21 為自然數(shù)； nmmm ..., 21 為非負(fù)數(shù)，這樣 nnnnnnnnlmlmlmxlmxlmxlmpppxpxpxp............2211222111212211????????? ??? 分子，分母同乘以 nlll ....21 ，上面分式就成了凸函數(shù)的基本不等式的樣子，此時 111221 .. ... ... .... .. ????? nnnn llmllmllmn 因而得證。 （ 2） 一般地，設(shè) nppp ,..., 21 都是非負(fù)實數(shù)，記 ),...2,1(...21 nkzppp p kn ????? 則可 n 具有公分母的有理數(shù)列 kmz ，使 kmz ?? mzk ( ） 這樣由（ 1）有 ? ? ? ? ? ? ? ?nnmmmnnmmm xzxzxzxzxzxz ???? ??????? .. ... . 22112211 考慮到 ??x? 具有連 續(xù)性，因而對上面不等式的兩邊極限，立得 ? ? ? ? ? ?nnnn xzxzxzxzxz ??? ?????? . ... .. 112211 證畢 定理 （ Jensen 積分不等式）若 ??x? 是 I 上的連續(xù)凸函數(shù)，而 ??xf 與 ??xp 是? ?ba, 上的連續(xù)函數(shù)， ? ? ? ? 0,0 ?? ? dxxpxp ba ，則成立 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?dxxpdxxfxpdxxpdxxfxpbabababa ???? ??????????? ?? 9 證明：令 nabxxxnkkn abaxkkkk?????????? 1),. ..,2,1,0( 由 Jensen 總和不等式有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?101100101100 ............?????? ?? ????????? ?? ??nnnnnn xpxp xfxpxfxpxpxp xfxpxfxp ??? 從而 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ??????????????????????????????10101010nkkkkknkknkkkknkkkxxpxxfxpxxpxxfxp ?? 當(dāng)令 ?n 時，即得 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?dxxpdxxfxpdxxpdxxfxpbabababa ???? ??????????? ?? 證畢 例 若 ??xf 為 ? ?ba, 上的正連續(xù)函數(shù)，則 ? ? ? ? ?????? ??? ?? baba dxxfabdxxfab 1lnln1 證明：考慮到函數(shù) uln 是凹函數(shù)， ??xf 為 ? ?ba, 上的正連續(xù)函數(shù)，當(dāng)設(shè) ? ? 1?xp ，根據(jù) Jensen 積分不等式立得 ? ? ? ????? ???????????babababadxdxxfdxdxxf lnln 整理可得 ? ? ? ? ?????? ??? ?? baba dxxfabdxxfab 1lnln1 例 若 ),.. .2,1(,0,0 nipa ii ??? ，則 10 ?? ?????? ?niiiininiiniiiii aappapap1111 lnln 證明：設(shè) ? ? )0(ln ?? xxxx? ，因 ? ? ,0139。39。 ??xx?故 ??x? 是凸函數(shù)。由 Jensen 總和不等式有 ???????????? ?niiniiiiniiniiiniiniiipaappappap111111lnln 兩邊同乘以 ??ni ip1立得 ?? ?????? ?niiiininiiniiiii aappapap1111 lnln 證畢。 Hadamard 不等式 定理 （ Hadamard 不等式）設(shè) ??x? 是 ? ?ba, 上的連續(xù)凸函數(shù)，則 ? ? ? ? ? ?212 badxxabba ba ???? ?????????? ? ? 證明：由于 ??x? 是 ? ?ba, 上的連續(xù)凸函數(shù)，由凸函數(shù)的基本定理可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?baxaxbabab baxaxbx ???? ??????????? ? ???? 1 兩邊積分可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????????? ????? ? ?? 211 baabdxaxbdxxbaabdxx ba baba ????? 因而 ? ? ? ? ? ?21 badxxab ba ??? ??? ? ..........................
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