【文章內(nèi)容簡介】 這說明 2)成立． 注 如果數(shù)集 E 有上界，那么它有無數(shù)個上（下）界，在這些無限多個上（下）界當中，有個上（下）界和數(shù)集 E 會存在一種特殊的關系． 3． 3 有限開覆蓋 設 I 是一個區(qū)間（或開區(qū)間），并且有開區(qū)間集 S （ S 中的所有元素都是開 區(qū)間，開區(qū)間的個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的）． 定義 1 若 對于任意的 Ix? ，存在 ??x ，則稱開區(qū)間集 S 覆蓋區(qū)間 I ． 聊城大學本科畢業(yè)論文 例題 設 I =（ 0， 1）， ... }3,2,1)1,11{( ??? nnS，則開區(qū)間集 S 沒有覆蓋區(qū)間 I ．事實上，任意 ??Nn ，且 nn 1,1? ? )1,0( ，但是 n1 不屬于 S 中任何一個開區(qū)間． 設 I )1,0(? ， ... }3,2,1)1,11{( ??? nnS則開區(qū)間集 S 沒有覆蓋區(qū)間 I ．事實上，任意?x )1,0( ，只要正整數(shù) m 充分 大，有 11?m x ，及 ?x )1,11( ?m ． 定理 3（有限覆蓋定理） 若開區(qū)間集 S 覆蓋閉區(qū)間 [a ， b ]，則 S 中存在有限個開區(qū)間也覆蓋閉區(qū)間 [a ， b ]． 證（反證 法） 假設定理的結 論是錯誤的， 則不能用 S 中有限個開區(qū)間 來進行 覆蓋 閉區(qū)間 ? ?ba, ． 現(xiàn) 在 將 閉區(qū)間 ? ?ba, 平均 等分 成 兩個子區(qū)間 ， 那么二者中不可以 少與 一個子區(qū)間不能用 S 中有限個開區(qū)間來覆蓋 ． 記此子區(qū)間 為 ? ?11,ba ， 則 ? ? ? ?baba , 11 ? (） 且 )(2111 abab ??? ． () 繼續(xù) 將 ? ?11,ba 平均 等分為兩個子區(qū)間 ， 同樣 的道理， 其中 不能少于 一個子區(qū)間 用 S 有 限個開區(qū)間來覆蓋 ． 取出這樣一個子區(qū)間 ， 記為 ? ?22,ba ， 則 ? ? ? ?1122 , baba ? ， () 且 )(21222 abab ??? ． () 將此等分子區(qū)間的手續(xù)無限地進行下去 ， 得到一個區(qū)間列 ? ?? ?nn ba, ， 它 滿 足 ? ? ? ? ,.. .2,1, 11 ?? ?? nbaba nnnn ， () )(0)(21 ?????? nabab nnn ． () 所以 ? ?? ?nn ba, 是區(qū)間套 ，而且 其中 的所有閉區(qū)間均不可以采用 S里的 有限個開區(qū)間來 進行 覆蓋 ． 聊城大學本科畢業(yè)論文 由區(qū)間套定理 ， 存在唯一的一點 ? ? ,...2,1, ?? nba nn? ． 因為 S 是 ? ?ba, 的一個開覆蓋 ，所以存 在開區(qū)間 ?( , ? )? S ， 使 ),( ???? ． 因此，基于 區(qū)間套定理的推論 ，在 n 充分大 的時候 有 ? ? ),(, ???nn ba ． 此表明 ? ?nn ba, 僅需使 用 H 里的 一個開區(qū)間 ),( ?? 就 可以將其加以 覆蓋 ，此和所 挑選? ?nn ba, 時的假設“不 可以采 用 S 里 有限個開區(qū)間來 加以 覆蓋” 是 相矛盾 的． 進而證明必定存 在屬于 S 的有限個開區(qū)間 可以將 ? ?ba, 加以覆蓋 注 定理的的結論只 對閉區(qū)間 ? ?ba, 成立 ， 而對開區(qū)間則不一定成立 ． 3． 4 聚點定理 聚點的定義 設 E 是數(shù)軸上的無線點集， ? 是數(shù)軸上的一個定點（能夠?qū)儆?E 亦能夠不屬于 E ）．若任意 ? 0，點 ? 的 ? 領域 U （ ? ， ? ）都含有 E 的無限多個點，則稱 ? 是 E 的一個聚點． 例如，設 ?E {n Nn? ? }，則無限點集 E 沒有聚點． 顯然可以得到， ? 是 E 的聚點 ? ?? 0， ? ?x E ，有 0Ux? （ ? ， ? ）． 定理 4（聚點定理） 對于數(shù)軸上有界無限點集 E 的聚點不低于一個． 證明（利用有限覆蓋定理來證明） 設 E 為直線上的有界無限點集 ． 于是 存在 ba, 使? ?baE ,? ． 假定 ? ?ba, 在任何點 均并非 E 的聚點 ，那么對于 每一點 ? ?bax ,? 均存在對應 的 0?x? ， 使? ?xxU ?。 內(nèi) 最多 包含 E 的有限多個點 ． 令 ? ? ? ?baxxUH x ,。 ?? ? ，那么 H 是 ? ?ba, 的一個開覆蓋 ．依據(jù) 有限覆蓋 定 理 ， H 里具有 有限個鄰域 ? ?1。1 xxU ?， .... ， ? ?nxnxU ?。， 使得 將 H 加以 覆蓋 ，進而亦將 E 加以 覆蓋 ．因為 各個 鄰域 里 至多 包含 E 的有限個點 ，因此 這 n 個鄰域的并集 亦最多包含 E 的有限個點 ，因此 E 為有限點集 ，此和 題設 E 為無限點集 相沖突． 所以， 在 ? ?ba, 里最少存在 一點是 E 的聚點 ． 聊城大學本科畢業(yè)論文 3． 5 致密性定理 定理 5（致密性定理） 有界數(shù)列 {na }一定有收 斂的子數(shù)列 {kna}． 證明 設 ??nx 為有界數(shù)列 ． 若 ??nx 中有無限多個相等的項 ，那么此類 項 構成 的子列是一個常數(shù)列 ， 而常數(shù)列 是 收斂的 ． 如果 數(shù)列 ??nx 不 包含 無限多個相等的項 ，那么 ??nx 在數(shù)軸上對應的點集 必定是 有界無限點集 ，因此基于 聚點定理 ， 點集 ??nx 至少有一個聚點 ， 記為 ? ． 于是 依據(jù)定義能夠 知道， 存在 ??nx 的一個收斂子列（以 ? 為其極限） ． 3． 6 柯西收斂準則 3． 6． 1 定理六（柯西收斂準則） 數(shù)列 ??na 收斂的 充分必要 條件是： 對于任意 給 定 的0?? ，一定 存在 一個 正整數(shù) N 使得當 Nmn ?, 時有 ??? mn aa ． （ 3． 6． 1） 證 (必要性 )設 Aann ???lim， 由數(shù)列極限的定義 ， 對任給的 0?? ， 存在正整 數(shù) N ， 使得當 Nmn ?, 時有 2???Aan ， 2???Aam 因而有 ??????? AaAaaa mnmn ． (3． 6． 2) (充分性 )由題設 ， 對任給的 0?? ， 存在正整數(shù) N ， 當 Nn? 時 ， ??? Nn aa ． 即當 Nn? 時 ， 有 ? ??? ??? NNn aaa , ． 令 21?? ， 存在正整數(shù) 1N ， 當 1Nn? 時 ， ?????? ??? 21,21 11 NNn aaa， 取 ? ? ?????? ??? 21,21, 1111 NN aa?? ． (3． 6． 3) Na??Na ??Nax聊城大學本科畢業(yè)論文 令221??， 存在正整數(shù) 12 NN ? ， 當 2Nn? 時 ， ?????? ??? 22 21,21 22 NNn aaa， 取 ? ? ? ? ?????? ??? 221122 21,21, 22 NN aa????? ． (3． 6． 4) 顯然有 ? ? ? ?2211 , ???? ? ，2122 ????， 并且當 2Nn? 時 ， ? ?22,???na ． .......... 令k21??， 存在 1?? kk NN ， 當 kNn? 時 ， ?????? ??? kNkNn kk aaa 21,21， 取 ? ? ? ? ?????? ??? ?? 2211 21,21, kk NNkkkk aa?????． .......... 這樣就得到一列閉區(qū)間 ? ?? ?kk ba, ， 滿足 （ i） ? ? ? ? ,.. .2,1, 11 ?? ?? kbaba kkkk ； （ ii） ?????? kab kkk ,02 1 1 ；