【正文】 ........................................................................ 5 定理 3（有限覆蓋定理） .................................................................................. 6 聚點的定義 ...................................................................................................... 7 定理 4（聚點定理） ............................................................................................. 7 3． 5 致密性定理 ..................................................................................................... 8 3． 6 柯西 收斂準(zhǔn)則 ................................................................................................. 8 3． 7 單調(diào)有界定理 ................................................................................................. 9 4．實數(shù)循環(huán)定理的證明 ...................................................................................... 10 4． 1 確界定理 ? 閉區(qū)間套定理 .......................................................................... 10 4． 2 區(qū)間套定理 ?有限覆蓋定理 ...................................................................... 10 4． 3 有限覆蓋定理 ?聚點 定 理 ......................................................................... 11 4． 4 聚點定理 ? 致密性定理 .............................................................................. 11 4． 5 致密性定理 ? 柯西收斂準(zhǔn)則 ...................................................................... 11 4． 7 單調(diào)有界 ? 確界定理 .................................................................................. 12 ............................................................................... 12 6．實數(shù)完備性定理過程中的一些注示 .......................................................... 13 6． 1 關(guān)于實數(shù)完備性定理的循環(huán)證明過程 ....................................................... 13 6． 2 關(guān)于 實數(shù)完備性定理的起點 ....................................................................... 13 參考文獻 ..................................................................................................................... 16 致謝 .............................................................................................................................. 17 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 摘要 本文主要是敘說實數(shù)的完備性定理和它的證明以及在數(shù)學(xué)上所占的地位，對今后數(shù)學(xué)發(fā)展起到怎么樣的作用；實數(shù)完備性六個相互定理的證明 ． 它們之間是相互等價的，即任取其中兩個定理，都可以相互證明 ． 關(guān)鍵詞 ：實數(shù) 的完備性定理；等價性；循環(huán)證明； 實數(shù)基本定理 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 Abstract This article is about the pleteness of the real numbers on the theorem and its proof in mathematics and the status of, how are mathematics play a role in the future。 對于 實數(shù)系 而言最關(guān)鍵的屬性即 完備性 與 連續(xù)性， 擁有這兩種屬性 ， 才 可以對于 極限，連續(xù)，微分和積分 展開深入探究討論 。 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 2)??nlim(bn an ) =0． 則存在唯一的實數(shù) l 是屬于所有的閉區(qū)間（即 ??1n?[an ， bn ]=l )，且 ??nlim lba nnn ?? ??lim () 證明 由條件 1） 可知 ， 數(shù)列 ??na 為 遞增 并且是 有界 的 數(shù)列 ， 由 單調(diào) 有 界定理 可知， ??na有極限 l ， 且有 na l? ， ( ...3,2,1?n )． 同理 ， 遞減 并且 有界 的 數(shù)列 ??nb 也 是 有極限 ， 并按區(qū)間套的條件 2）可 有 ??nlim a n???nlim nb? l ． 且 b n ? l ， ...3,2,1?n ． 綜上 ， 可得 a n ? nbl? ， ...3,2,1?n ． 下面證明滿足 a n ? nbl? ， ...3,2,1?n ． 的 l 是唯一的 ． 設(shè)數(shù) 39。ll? ? ??nlim ?nb ?na 0? () 故有 39。? ? E 使 39。 ?? ?? k () 即得到 39。1 xxU ?， .... ， ? ?nxnxU ?。 Step(2) 將 ? ?11,ba 等分為兩個子區(qū)間 ， 則至少有一個具有性質(zhì) ? ， 不妨記該區(qū)間為? ?22,ba ， 則 ? ? ? ?1122 ,baba ? 。a ? ，即 x ???? 39。 ????則 ? 是數(shù)集 S 的最小上界． 故，結(jié)論得以證明． 在 《數(shù)學(xué)分析》 的 所有 知識中 ， 實數(shù)系完備性基本定理 此知識 是理論性 最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟糠?，而?實數(shù)理論的 構(gòu)建，促使數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密性得到極大的加強。但是我們也要注意，證明的結(jié)果是正確的，前提是需要保證每一個命題的準(zhǔn)確性，如果說一共有 6 個命題，我們將其中的 5 個都能夠科學(xué)的證明出來，而最后一聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 個是假命題，那整個證明的命題都為假命題。比方說，有限覆蓋定理在本質(zhì)上主要是展示在實數(shù)系的整個范圍內(nèi)有界閉區(qū)間是緊閉 的；聚點定理在本質(zhì)上是為了表明在實數(shù)系的范圍里有界無限數(shù)集是一個列緊集； Cuahcy 收斂準(zhǔn)則 (充分性 )在本質(zhì)上主要是展示 按一般的距離來討論，實數(shù)空間是一個很完整的有距離的空間。 首先要感謝我的論文導(dǎo)師。我的每點進步都離不開你們的鞭策！ 同時，感謝我的同窗好友的幫助與陪伴，你們將會是我在大學(xué)最深刻的記憶！感謝與我一起學(xué)習(xí)工作的師兄弟師姐妹們，與你們一同奮斗的日子，是 我這一生最難忘、最寶貴的時光，我會銘記于心！ 此外，我更要感謝生我養(yǎng)我育我的父母和一直默默關(guān)系我的親人，無論我在哪里，無論我做什么，你們都是我最穩(wěn)固的后盾！ 最后，祝各位老師身體健康，工作順利！祝各位同學(xué)前程似錦 !