【正文】 摘要 本文主要是敘說實(shí)數(shù)的完備性定理和它的證明以及在數(shù)學(xué)上所占的地位，對今后數(shù)學(xué)發(fā)展起到怎么樣的作用；實(shí)數(shù)完備性六個相互定理的證明 ． 它們之間是相互等價的，即任取其中兩個定理，都可以相互證明 ． 關(guān)鍵詞 ：實(shí)數(shù) 的完備性定理；等價性；循環(huán)證明； 實(shí)數(shù)基本定理 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 Abstract This article is about the pleteness of the real numbers on the theorem and its proof in mathematics and the status of, how are mathematics play a role in the future。 proving theorems in real number pleteness in six mutual . They are equivalent to each other, that is, any two theorems, can be proved． Key words： Real pleteness theorem equivalence。 cycle proof real fundamental theorem 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 前言 數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論。 對于 實(shí)數(shù)系 而言最關(guān)鍵的屬性即 完備性 與 連續(xù)性， 擁有這兩種屬性 ， 才 可以對于 極限，連續(xù)，微分和積分 展開深入探究討論 。正是在 對于 函數(shù)的 各種極限運(yùn)算 加以探討的過程里 ，人們 開始逐步構(gòu)建其 嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系。 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 淺談實(shí)數(shù)的完備性 1．實(shí)數(shù)完備性定理在《數(shù)學(xué)分析》中所占的地位 實(shí)數(shù)集的連續(xù)性是實(shí)數(shù)集區(qū)別于有理數(shù)集的一個重要特征，是實(shí)數(shù)集其中的優(yōu)點(diǎn)，而實(shí)數(shù)完備性又是數(shù)學(xué)分析中的一個基礎(chǔ)，再加上數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程之一．實(shí)數(shù)域的完備性是人們經(jīng)過長期的探索與研究里一步步總結(jié)認(rèn)識的，它是所有函數(shù)分析理論的本質(zhì)基礎(chǔ)，由此獲得了極限論、微積分學(xué)等許多重要的 數(shù)學(xué)成果． 數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論． 對于 實(shí)數(shù)系 而言最關(guān)鍵的屬性即 完備性 與 連續(xù)性，擁有這兩種屬性 ，才 可以對于 極限，連續(xù)，微分和積分 展開深入探究討論 。正是在 對于 函數(shù)的 各種極限運(yùn)算 加以探討的過程里 ，人們 開始逐步構(gòu)建其 嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系 ，不僅只是在《數(shù)學(xué)分析》中談?wù)摰剑€在《實(shí)變函數(shù)》中進(jìn)一步研究過． 對于實(shí)數(shù)的完備性，幾位著名數(shù)學(xué)家基于各個視角，采取多種方法加以闡述；在劉玉蓮所寫的課本《數(shù)學(xué)分析》中分別列出了實(shí)數(shù)完備性定理的六個基本定理，而這六個定理分別是 閉區(qū)間套定理 確界定理 有限覆蓋定理 聚點(diǎn)定理 致密性定理 柯西收斂準(zhǔn)則，它們是基本等價的可以出現(xiàn)循環(huán)證明及應(yīng)用，在以后得數(shù)學(xué)中起到很大的作用；我也是參照他的書定理開始證明，并用另一種順序開始證明的，以此來說明它們的等價關(guān)系以及六個定理的重要性． 3． 實(shí)數(shù)六個基本定理的描述和證明 3． 1 閉區(qū)間套定 3． 1． 1定理 1（ 閉區(qū)間套定理 ） 設(shè)有閉區(qū)間 {[an ， bn ]}．若 1)[a1 ， b1 ]? [a2 ， b2 ]? ... ? [an ， bn ]? ...。 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 2)??nlim(bn an ) =0． 則存在唯一的實(shí)數(shù) l 是屬于所有的閉區(qū)間（即 ??1n?[an ， bn ]=l )，且 ??nlim lba nnn ?? ??lim () 證明 由條件 1） 可知 ， 數(shù)列 ??na 為 遞增 并且是 有界 的 數(shù)列 ， 由 單調(diào) 有 界定理 可知， ??na有極限 l ， 且有 na l? ， ( ...3,2,1?n )． 同理 ， 遞減 并且 有界 的 數(shù)列 ??nb 也 是 有極限 ， 并按區(qū)間套的條件 2）可 有 ??nlim a n???nlim nb? l ． 且 b n ? l ， ...3,2,1?n ． 綜上 ， 可得 a n ? nbl? ， ...3,2,1?n ． 下面證明滿足 a n ? nbl? ， ...3,2,1?n ． 的 l 是唯一的 ． 設(shè)數(shù) 39。l 也滿足 a n ? 39。l nb? ， ...3,2,1?n ． 則由 na ? nbl? ； ...3,2,1?n 可以 有 39。ll? ? ?nb ?na ， ...3,2,1?n 由區(qū)間套的條件 2）得 39。ll? ? ??nlim ?nb ?na 0? () 故有 39。l ? l ． 注 區(qū)間套定理 里 的閉區(qū)間 如果更改成 開區(qū)間 的話， 則 結(jié)論 就將出現(xiàn)改變，并不必然成立 ． 例 如對于 開區(qū)間列?????? ?????? n1,0， 顯然 可得 l 是不存在的 ． 3． 2．確界的敘述 定義一 設(shè) E 是非空數(shù)集，若存在 R?? ，且 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 對于任意 Ex? ，有 x ?? 。2)任意 ? 0? ，存在 0x ? E ，有 ? ? ? 0x ．則稱 ? 是數(shù)集 E 的上確界，記為 ? ? sup E 定義二 設(shè) E 是非空數(shù)集，若存在 R?? ，且 1）對于任意 Ex? ，有 x?? ； 2）對于任意 ? 0，存在 0x ? E ，有 0x ? ??? ．則稱 ? 是 E 的下確界，記為 ? ? inf E ． 定理 2（ 確 界定理 ） 如果非空數(shù)集 E 存在上界（下界），那么數(shù)集 E 具有唯一的上確界（下確界）． 證 我們 僅需要對于 上確界的結(jié)論 加以證明，下確界的 結(jié)論 能夠采用相同的原理加以證明出來 ． 為 了便于敘述，我們能夠假定集合 E 存在 有非負(fù)數(shù)． 因?yàn)榧?E 是存在 上界 ，因此能夠找到一個 非負(fù)整數(shù) n ， 使得 ?1 對于任何 Ex? 有 1??nx 。 ?2 存在 0a ? E ， 使 na?0 ． 把 半開區(qū)間 ? ?1, ?nn 平均分成 10等分 ， 分點(diǎn)為 9.,2.,1. nnn ? ， 則在 ,2,1,0 9,? 中 存在 一個數(shù)1n ， 使得 )1 對于任何 Ex? 有 ?x221 101. ?nnn )2 存在 2a ? E ， 使 .. 212 nnna ? 繼續(xù) 將其平均分為 10個 等分 點(diǎn)，則在上一步驟里得獲得的 半開區(qū)間 ，能夠得出對于 任何存在 9,2,1,0 ? 中的 — 個數(shù) kn ，都 會 使得 )1 對于任何 x ? E 有kknnnnx 101. 21 ?? ? )2 存在 ka ? E ， 使 .. 21 kk nnnna ?? 將上 面的 步驟無限地 繼續(xù) 進(jìn)行下去 ，可以 得 出一個 實(shí)數(shù) .. 21 ?? knnnn?? ． 以下證明 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 ?? sup E ． () 因此 只需 要 證明： 1) 對一切 Ex? 有 ??x ； 2)對任何 ??? ， 存在 39。? ? E 使 39。a?? ． 如果 結(jié)論 1)不成立 ， 即存在 x ? E 使 ??x ，那么 可找到 x 的 k 位不足近似 kx ， 使 ?? kkx ? ?knnnn ?21. k101 ， （ ） 從而得 kknnnnx 101. 21 ?? ?， （ ） 然而此和 不等式 )1( 存在 矛盾． 因此 1)得證． 現(xiàn)在假定 ??? ，那么 存在 一個數(shù) k 使 ? 的 k 位不足 以 近似 kk ?? ? ， 即 kknnnn ???21. ， （ ） 根據(jù)數(shù) ? 的構(gòu)造 ， 存在 39。? ? E 使 ka ??39。 ， 從而有 ka ??39。 ?? ?? k () 即得到 39。a?? ， ．