凸函數(shù)在證明不等式中的應用-文庫吧
2025-06-08 16:21 本頁面
【正文】 性分析.由于凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，一些常見的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導出，對不等式的證明最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以研究凸函數(shù)的凸性就顯得十分必要了，同時利用凸函數(shù)的凸性證明不等式，正確理解凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及其它在證明不等式中的應用，更對有關(guān)學術(shù)問題進行推廣研究起著舉足輕重的作用.2 凸函數(shù)的基本知識 凸函數(shù)的定義大家都熟悉函數(shù)的圖像，它的特點是：：設(shè)在上有定義，若曲線上任意兩點間的弧總位于連接該兩點的線段之下，則稱函數(shù)是凸函數(shù).定義[1] 若函數(shù)對于區(qū)間內(nèi)的任意以及任意實數(shù)，恒有， （1）則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).如果（1）中的不等式改為嚴格不等式，則相應的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù).常見的凸函數(shù)有：① ,均為內(nèi)的嚴格凸函數(shù)；②均為內(nèi)的嚴格凸函數(shù). 凸函數(shù)的判定定理及其性質(zhì)引理[1] 若為區(qū)間上的凸函數(shù)，則對上的任意,有 （2）定理1[1] 設(shè)為區(qū)間上的可導函數(shù)，則下列論斷互相等價： 為上凸函數(shù)； 為上的增函數(shù)； 對上的任意兩點，有.定理2[1] 設(shè)為區(qū)間上的二階可導函數(shù)，則在上為凸函數(shù)的充要條件是（）.用定義來直接判斷一個函數(shù)是不是凸函數(shù)，往往是很困難的，但用定理2來判斷一個光滑函數(shù)是否為凸函數(shù)，再反過來利用凸性證明不等式.性質(zhì)1[2] 若是區(qū)間上的凸函數(shù)，則對上的任一內(nèi)點,單側(cè)導數(shù)皆存在，且，這里表示的全體內(nèi)點組成之集合.證明 因為內(nèi)點,故使得,因為是區(qū)間I上的凸函數(shù)，故，當遞增時,也遞增.故由單調(diào)有界原理知,下極限存在且(x)= .同理,在此式中，令時,也可知存在,且.性質(zhì)2[2] 若在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則在任一內(nèi)點上連續(xù).證明 事實上由性質(zhì)1知：與存在，所以在處左右都連續(xù).性質(zhì)3[2] 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則在I上的任一閉子區(qū)間上有界.證明 設(shè)為任一閉子區(qū)間，于是有①取則，因為凸函數(shù),所以 ，其中，故在上有上界；②記為的中點，則，有關(guān)于的對稱點，因為凸函數(shù)，所以，從而
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