畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應(yīng)用-wenkub
2023-07-07 12:51:32 本頁(yè)面
【正文】 ????? ??? ???????做第三種初等變換將第 j 列 化為??jkj??????1122,11,1,jkj jkkkjjjjkjbbebeee n?????????????? ?令????1,2ikiiaek???????12. ,(,1.,)jjjkjjbben???????????nkkknk kn eaeaEB ?????,112121 ?? ? ???? ?而行列式 是 的最高次冪為 的多項(xiàng)式． 為1211,kkn?????? ? 121,k??的特征值,B．????1knnkiiBE???????綜上可知命題成立． （參考文獻(xiàn)[2] [4] ） 命題的應(yīng)用例 3 設(shè) 3 階對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值 , , ，對(duì)應(yīng)于的 , 的特征向1??2?03??1?2量依次為 ,求矩陣 ．????TTpp2,21??A解 由公式= .3223113 EppATTT ????????????021例 4 設(shè) 3 階對(duì)稱(chēng)矩陣 的特征值 ， , 對(duì)應(yīng)于的 特征向量為61?32?1?求矩陣 ．??1,Tp?A 解 由公式 ．??????????4132112EpTT??綜上, 運(yùn)用該命題根據(jù)已知條件, 可簡(jiǎn)捷快速地求出矩陣, 給我們帶來(lái)極大的方便． 線性遞推關(guān)系中特征值與特征向量的應(yīng)用用特征值和特征向量對(duì)一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論． （見(jiàn)參考文獻(xiàn)[14] [15]） 命題的證明 命題 2 設(shè) 階線性循環(huán)數(shù)列{ }滿足遞推關(guān)系knx，knnxaax?????21 ???,21??k其線性方程組為 ??????????.,11211knknnknnxx? ?可表為矩陣形式． ????????????????????? ?????? knnkknn xxaaxx?? ?????? 321121121 010（）令， ，???????????knnknxxa?321 ??????????010121? ????? kaaA則（）式可寫(xiě)成， 1nknkaA????（）由（）式遞推得，1121 aAaknknkn ???????其中 , 于是求通項(xiàng) , 就歸結(jié)為求 , 也就是求 .??Tkxxa21,???x1nkx??nkA?如果 可對(duì)角化, 即存在可逆矩陣 , 使得 , 則 , 由于AP1B? 1nkP????100112????? ????? kkaaAE從第一列開(kāi)始每一列乘以入加到后一列上, 可得 )()1 010011 1121212kkk kkkkka aaaa???? ????? ? ?????? ???? ???若 是 的一重特征值, 顯然有 , 則線性齊次方程 的基?A??REA???EA???礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量. 因此當(dāng) 有個(gè)特征值 時(shí), 這 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)k?,21?的特征向量分別 , 以這個(gè) 特征向量為列構(gòu)成的方陣記為 , 則 是可逆kP,21? kP的, 并且 , 其中PAB??．???????k?? ????021 命題的應(yīng)用例 6 計(jì)算 階行列式n ．202212010?? ??????? ???D解 將 按第一行展開(kāi)得,n,1213nDM???其中 與 分別是元素 與 的余子式, 再 將它們分別按第一列展開(kāi)得:12M312?3 ,123nnnDD????則是 階線性循環(huán)數(shù)列. 將方程組??nD123nnnD???????表示成矩陣形式為： 112230nn???????????????令，???????012A由上式遞推得： ． ?????????????????????????? ???? 12343232121 DAADnnnn ?（）由 ，解的特征值為0EA???， ， ．1??2?23??再由特征方程 , 解得 對(duì)應(yīng)的特征值 , , .的特征向量分??03XiA12?3別為， ， ，???????1P???????2???????1243P令，??123412P?????????則 1 136102,02PAP? ?????????????????????????????? ?????? ????????????
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