[理學(xué)]特征值問題-wenkub
2022-10-31 21:17:45 本頁面
【正文】 求矩陣的特征值問題 .例如，振動問題（大型橋梁或建筑 物的振動、機(jī)械的振動、電磁振蕩等），物理學(xué)中某些臨 界值的確定，這些問題都?xì)w結(jié)為下述數(shù)學(xué)問題 )2()( de t)de t ()(12211212222111211的項(xiàng)次數(shù) ??????????????????????????????????? naaaaaaaaaaaaAInnnnnnnnnn???????????????? 定義 1. （ 1）已知 ，則稱 nnijaA ?? )(為 的 特征多項(xiàng)式 . A2 .210131012?????????A 解 矩陣 的特征方程為 A,08147)d e t ()( 23 ??????? ?????? AI求得 特征值為： A.4,2,1 321 ??? ???對應(yīng)于各特征值的特征向量分別為： .121,101,111321??????????????????????????????????? xxx例 1 求 的特征值及特征向量，其中 3 通過求特征多項(xiàng)式的根的缺點(diǎn) ? 多項(xiàng)式系數(shù)的很小改變可以任意大的改多項(xiàng)式的根。以 為例 321 3 1 0 7 02 2 2 0 6 0x A x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 ( 5 , 5 ) Tx ??101 3 5 1 02 2 5 0x A x?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?211 3 1 0 1 02 2 0 2 0x A x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?43251 3 7 0 2 5 0260 262 2 6 0 2 6 0 1x A x??? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???6 觀察發(fā)現(xiàn)以上的初始向量隨著迭 代次數(shù)的增加而接近于向量 ? 這個(gè)是否是個(gè)巧合呢？下面通過把 表示為特征向量的線性組合來說明： 0x(1,1)T0131213x?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?7 ? 則計(jì)算過程如下： 10221332343134212134212134212134212x Axx Axx Axx Ax?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?8 該方法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn) ? 優(yōu)點(diǎn)：與在絕對值上最大的特征值對應(yīng)的特征向量在若干步之后將主導(dǎo)這個(gè)計(jì)算。按照這種方式對上例重新進(jìn)行計(jì)算得到： ix|| ||ix ?/ || ||i i iy x x ?? ||
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