【正文】 法, 設(shè) 是數(shù)域 上 維線性空間, VPn是它們的一組基, 線性變換 就是在這組基下的矩陣是 . 設(shè) 是特征值，12n?? / A0?它的一個(gè)特征向量 在 下的坐標(biāo)是 . 則由 , 這說明特?12,n?? nx0201,? x?征向量 的坐標(biāo) 滿足齊次次方程組??00x???????.,021 222 10121nnnnxaxa?? ???? ??即 ()????????????.0,021202 12110 nnnxaxa??? ??? ??由于 , 所以它的坐標(biāo) 不全為零, 即齊次線性方程組有非零解. 0??n0,?從而, 齊次線性方程組（ ）式, 有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零, 即．0021 202 112100 ?????nnn naaAE???? ?????我們引入以下定義.定義 設(shè) 是數(shù)域 上一 級(jí)矩陣, 是一個(gè)文字. 矩陣 的行列式PAE??，nnnnaaAE??????? ?????21221121稱為 的特征多項(xiàng)式, 這是數(shù)域 上面的分析說明, 如果 是線性變換 的特征值, 那么 一定是矩陣 的特征多0?/A0A項(xiàng)式的一個(gè)根。把所有得的特征值逐個(gè)代入方程組（）式, 對(duì)于每一個(gè)特征值, 解方程組（）式，求出一組基礎(chǔ)解系, 它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo), 這樣, 我們也就求出了屬于每個(gè)特征值的全部線性無關(guān)的特12n??征向量． 矩陣 的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為 的特征值, 而相應(yīng)的線性方程組（）式AA的解也就稱為 的屬于這個(gè)特征值的特征向量．例 1 設(shè)線性變換 在基 ， ， 下的矩陣是/1?23 1A???????，求 的特征值與特征向量．/A解 因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 ??21215EA??????? ,所以特征值1（二重）和 5．把特征值1 代入齊次方程組 ??1230xx????????得到 1230x??????它的基礎(chǔ)解系是 ， ．10???????因此，屬于1 的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是，132????而屬于－1 的全部特征向量就是 ， ， 取遍數(shù)域 中不全為零的全部數(shù)對(duì). 1k?1k2P再用特征值 5 代入, 得到 12340x???????，它的基礎(chǔ)解系是 1??????．因此, 屬于 5 的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是 ，3123????而屬于 5 的全部特征向量就是 , 是數(shù)域 中任意不等于零的數(shù)．kP 例 2 在空間 中, 線性變換??nPx 　　 ??xf`??在基 下的矩陣是??211,!!nx?? .00100??????????? ????D的特征多項(xiàng)式是D .01nDE????????? ?????因此 的特征值只有 0, 通過解相應(yīng)的齊次線性方程組知道, 屬于特征值 0 的線性無D關(guān)的特征向量組只能是任一非零常數(shù). 這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零或非零常數(shù)．(見參考文獻(xiàn)[1])2 矩陣特征值與特征向量的幾個(gè)應(yīng)用 特征值與特征向量確定矩陣的方法證明及應(yīng)用已知矩陣的特征值與特征向量確定 3 階對(duì)稱矩陣的公式．設(shè) 3 階對(duì)稱矩陣 的特征值為 , 且 對(duì)應(yīng)的特征向量為 , 則A12???1?p.321EpT???本文給出推廣到 命題的證明命題 1 設(shè) 階對(duì)稱矩陣 的特征值為 其中nAk?,21?≠ ， 對(duì)應(yīng)的特征向量為 ， .則可取kn?i?j??k,2,??i?ip??,2k???， nki TiiTkEpA?????1且為 的 重特征值．A1nk??證明 不妨設(shè), , nkki TiiTkEpB?????1 ??1ki TiiTkpC?．????12, ,2ikiiiniTpam? ?因?yàn)?兩兩正交,121,kp?? 1 ()kTikj ijknjjkjkjjBppEppp????????????，所以 為 的特征向量, 為 的對(duì)應(yīng)于 的特征向量, 且 ．j?j j ??1,2j??因?yàn)?1kTikkni