【正文】 法, 設 是數(shù)域 上 維線性空間, VPn是它們的一組基, 線性變換 就是在這組基下的矩陣是 . 設 是特征值，12n?? / A0?它的一個特征向量 在 下的坐標是 . 則由 , 這說明特?12,n?? nx0201,? x?征向量 的坐標 滿足齊次次方程組??00x???????.,021 222 10121nnnnxaxa?? ???? ??即 ()????????????.0,021202 12110 nnnxaxa??? ??? ??由于 , 所以它的坐標 不全為零, 即齊次線性方程組有非零解. 0??n0,?從而, 齊次線性方程組（ ）式, 有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零, 即．0021 202 112100 ?????nnn naaAE???? ?????我們引入以下定義.定義 設 是數(shù)域 上一 級矩陣, 是一個文字. 矩陣 的行列式PAE??，nnnnaaAE??????? ?????21221121稱為 的特征多項式, 這是數(shù)域 上面的分析說明, 如果 是線性變換 的特征值, 那么 一定是矩陣 的特征多0?/A0A項式的一個根。把所有得的特征值逐個代入方程組（）式, 對于每一個特征值, 解方程組（）式，求出一組基礎解系, 它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關的特征向量在基 下的坐標, 這樣, 我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關的特12n??征向量． 矩陣 的特征多項式的根有時也稱為 的特征值, 而相應的線性方程組（）式AA的解也就稱為 的屬于這個特征值的特征向量．例 1 設線性變換 在基 ， ， 下的矩陣是/1?23 1A???????，求 的特征值與特征向量．/A解 因為特征多項式為 ??21215EA??????? ,所以特征值1（二重）和 5．把特征值1 代入齊次方程組 ??1230xx????????得到 1230x??????它的基礎解系是 ， ．10???????因此，屬于1 的兩個線性無關的特征向量就是，132????而屬于－1 的全部特征向量就是 ， ， 取遍數(shù)域 中不全為零的全部數(shù)對. 1k?1k2P再用特征值 5 代入, 得到 12340x???????，它的基礎解系是 1??????．因此, 屬于 5 的一個線性無關的特征向量就是 ，3123????而屬于 5 的全部特征向量就是 , 是數(shù)域 中任意不等于零的數(shù)．kP 例 2 在空間 中, 線性變換??nPx 　　 ??xf`??在基 下的矩陣是??211,!!nx?? .00100??????????? ????D的特征多項式是D .01nDE????????? ?????因此 的特征值只有 0, 通過解相應的齊次線性方程組知道, 屬于特征值 0 的線性無D關的特征向量組只能是任一非零常數(shù). 這表明微商為零的多項式只能是零或非零常數(shù)．(見參考文獻[1])2 矩陣特征值與特征向量的幾個應用 特征值與特征向量確定矩陣的方法證明及應用已知矩陣的特征值與特征向量確定 3 階對稱矩陣的公式．設 3 階對稱矩陣 的特征值為 , 且 對應的特征向量為 , 則A12???1?p.321EpT???本文給出推廣到 命題的證明命題 1 設 階對稱矩陣 的特征值為 其中nAk?,21?≠ ， 對應的特征向量為 ， .則可取kn?i?j??k,2,??i?ip??,2k???， nki TiiTkEpA?????1且為 的 重特征值．A1nk??證明 不妨設, , nkki TiiTkEpB?????1 ??1ki TiiTkpC?．????12, ,2ikiiiniTpam? ?因為 兩兩正交,121,kp?? 1 ()kTikj ijknjjkjkjjBppEppp????????????，所以 為 的特征向量, 為 的對應于 的特征向量, 且 ．j?j j ??1,2j??因為 1kTikkni