基于冪法的自適應(yīng)特征值計(jì)算方法研究畢業(yè)論文-wenkub
2023-07-08 07:43:31 本頁面
【正文】 對(duì)應(yīng)的特征向量是由此看出是的相當(dāng)好的近似，特征值，的真值為2 矩陣的分解 矩陣的三角（）分解矩陣的三角分解基本概念和定理. 設(shè),如果存在下三角矩陣和上三角矩陣, 使得, 則稱可作三角分解或分解.. 設(shè)為對(duì)稱正定矩陣, 為行列式不為零的任意對(duì)角矩陣,則, 為一個(gè)單位上三角矩陣, 且有成立：1) 如果是單位下三角矩陣, 是對(duì)角矩陣, 是單位上三角矩陣, 則稱分解為分解.2) 如果是下三角矩陣, 而是單位上三角矩陣, 則稱三角分解為克勞特分解。. 設(shè)有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量分別記為 及，而為的近似值，存在，且 則對(duì)任意的非零初始向量，由反冪法迭代公式（）構(gòu)造的向量序列滿足 即 當(dāng) 且收斂速度由比值確定；由該定理知道：對(duì)（其中）應(yīng)用反冪法，可用來計(jì)算特征向量，只要選擇的是的一個(gè)較好的近似且特征值分離情況較好，一般很小，常常只要迭代一二次就可完成特征向量的計(jì)算。. 設(shè)為非奇異矩陣并且有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值滿足，則對(duì)任何初始非零向量，由反冪法構(gòu)造的向量序列滿足：收斂速度的比值為。m1=0；while k=N v=A*u；[vmax,i]=max(abs(v))； m=v(i)；u=v/m； if abs(mm1)ep index=1。若迭代向量各分量不是單調(diào)變化，但關(guān)系式,則屬于第2種情況。 冪法的計(jì)算公式設(shè)矩陣A的個(gè)特征值按模的大小排列為：│λ1│≥│λ2│≥…≥│λn│它相對(duì)應(yīng)的特征向量為e1, e2,…, en且它們是線性無關(guān)的。 冪法的基本思想 冪法是計(jì)算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）以及對(duì)應(yīng)特征向量的一種迭代方法，非常適合用于大型稀疏矩陣計(jì)算。因此，我們可以說廣義特征多項(xiàng)式是特征多項(xiàng)式的推廣，而特征多項(xiàng)式是廣義特征值記作的一個(gè)特例。而如果存在逆矩陣，那么我們就可以得到有用的非零解，因此，它們的行列式必等于零，即 ()鑒于此，矩陣束（A,B）又常表示為。仔細(xì)對(duì)比我們發(fā)現(xiàn)，特征值問題就是當(dāng)矩陣束取做（A,I）時(shí)廣義特征值問題的一個(gè)特例?，F(xiàn)在考慮廣義特征值問題：求所有的標(biāo)量使得方程 （）具有非零解。 特征值與特征向量我們熟知單個(gè)的矩陣的標(biāo)準(zhǔn)特征值分解及其應(yīng)用。由此可以得出以下結(jié)論：（1） 標(biāo)量是線性變換T的特征值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)該線性變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣A的特征值。由于特征值和特征向量經(jīng)常成對(duì)出現(xiàn)，因此常將稱之為矩陣A的特征對(duì)。而特征值對(duì)于矩陣而言也是十分的重要，對(duì)此我們給出特征值的相關(guān)定義：設(shè)為的特征值且，其中，則 （1）為的特征值（為常數(shù)且）；（2）為的特征值，即；（3）為的特征值；（4）設(shè)A為非奇異矩陣，那么且為的特征值，即。它最大優(yōu)點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單,適合于計(jì)算大型稀疏矩陣的主特征值。但是其收斂速度慢，可用加速方法來加速收斂，包括平移加速和瑞利商加速。實(shí)際上，對(duì)于特征值的基本問題可以陳述為：給定一個(gè)維的矩陣A，確定標(biāo)量的值，使得線性代數(shù)方程 具有非零解。雖然特征值可以取零值，但是特征向量不可以是零向量。（2） 向量是線性變換T與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)是該線性變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣A與特征值的特征向量。但是對(duì)于兩個(gè)矩陣的特征值分解，我們習(xí)慣稱之為廣義特征值的分解。這樣的標(biāo)量和非零向量分別稱之為矩陣束（A,B）的廣義特征值和廣義特征向量。雖然廣義特征值與廣義特征向量總是同時(shí)出現(xiàn)的，但是與特征值可以單獨(dú)求出一樣，廣義特征值也是可以單獨(dú)求出來的。對(duì)于維的矩陣束（A,B），式（3）是一個(gè)n階多項(xiàng)式，稱為廣義特征多項(xiàng)式。若將矩陣束的廣義特征值記作，則廣義特征值定義為 ()一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)是：若A和B均為Hermitian矩陣，并且B正定（即非奇異）時(shí)，廣義特征值分解公式（1）可等價(jià)改寫為 v （）即廣義特征值分解變?yōu)镠ermitian矩陣的標(biāo)準(zhǔn)特征值分解。它的基本思想是，先取任一個(gè)非零初始向量，然后作迭代序列再根據(jù)k增大時(shí)， 各分量的變化規(guī)律，求出方陣A 的按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量 。先任取一個(gè)非零初始向量，作迭代序列先將表示為：,，.所以 為了得到 和 的計(jì)算公式，下面我們分為三種情況進(jìn)行討論 ：1，為實(shí)根，且， 當(dāng)不為0，充分大時(shí)，則有所以
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