基于冪法的自適應特征值計算方法研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 07:43 本頁面
【文章內容簡介】 （） 2， 為 實根，，當不為0，充分大時，則有于是得到，從而有 () 3，且。當充分大時，則有 ()應用冪法時，可根據(jù)迭代向量個分量的變化情況判斷屬于那種情況。若迭代向量各分量單調變化，且有關系式,則屬于第1種情況。若迭代向量各分量不是單調變化，但關系式,則屬于第2種情況。若迭代向量各分量變化不規(guī)則，但有關系式,則屬于第3種情況；為了不讓它溢出，我們可以利用迭代公式： （）示例：用冪法計算的主特征值和它對應的特征向量，如下計算過程是：結果如下：表11的結果是用8位浮點數(shù)字進行運算得到的，：，及其對應的特征向量和相應的特征向量的真值（8位數(shù)字）為， 冪法程序算法unction[m,u,index]=pow(A,ep,N)%A為矩陣；ep為精度要求；N為最大迭代次數(shù)；m為絕對值最大的特征值；u為對應最大特征值的特征向量。N=100。ep=1e6；n=length(A)；u=ones(n,1)；index=0；k=0。m1=0；while k=N v=A*u；[vmax,i]=max(abs(v))； m=v(i)；u=v/m； if abs(mm1)ep index=1。break；end m1=m。k=k+1；end 反冪法反冪法是用以計算矩陣按模最小的特征值和特征向量，也可以用來計算特征向量（對應于一個給定近似特征值的）。設，是一個非奇異矩陣，的特征值順序為：相應的特征向量為：則的特征值為：對應的特征向量為：，因此算出的按摸最小的特征值的問題也就是計算的按摸最大的特征值問題，對于應用冪法迭代（稱為反冪法），可求出的主特征值，從而求的的按摸最小特征值，反冪法迭代公式如下所示：任取一個初始向量，建立出一個向量序列，迭代向量我們就可以通過求解方程組求得。. 設為非奇異矩陣并且有個線性無關的特征向量，其對應的特征值滿足，則對任何初始非零向量，由反冪法構造的向量序列滿足：收斂速度的比值為。反冪法中也可以用原點平移法來加速迭代過程或求其他特征值及特征向量，如果矩陣存在，其特征值為對應的特征向量仍然是，對矩陣應用冪法，得到反冪法的迭代公式。 （）如果是的特征值的一個近似值，且設與其他特征值是分離的，即 就是說是的主特征值，這時我們就可以用反冪法來計算矩陣的特征值和特征向量。設，有個線性無關的特征向量，則： 其中同理可得下面定理。. 設有個線性無關的特征向量，的特征值及對應的特征向量分別記為 及，而為的近似值，存在，且 則對任意的非零初始向量，由反冪法迭代公式（）構造的向量序列滿足 即 當 且收斂速度由比值確定；由該定理知道：對（其中）應用反冪法，可用來計算特征向量，只要選擇的是的一個較好的近似且特征值分離情況較好，一般很小，常常只要迭代一二次就可完成特征向量的計算。反冪法迭代公式中的是通過解方程組求得的，為了節(jié)省工作量，可以先將進行三角分解，其中是某個排列陣，于是求相當于兩個三角形方程組，和。選擇時可按下述方法選擇：選使用回代求解這個公式，可得到，然后在按公式（）進行迭代。反冪法的計算公式1．分解計算，且保存以及的信息2．反冪法迭代 1）解求， 2）（1）解求，解求，（2），（3）計算示例：用反冪法求的對應于計算特征值（精確特征值為）的特征向量（用5位浮點數(shù)進行運算）。解：用分解將分解為其中 由得到： 由得到： 對應的特征向量是由此看出是的相當好的近似，特征值，的真值為2 矩陣的分解 矩陣的三角（）分解矩陣的三角分解基本概念和定理. 設,如果存在下三角矩陣和上三角矩陣, 使得, 則稱可作三角分解或分解.. 設為對稱正定矩陣, 為行列式不為零的任意對角矩陣,則, 為一個單位上三角矩陣, 且有成立：1) 如果是單位下三角矩陣, 是對角矩陣, 是單位上三角矩陣, 則稱分解為分解.2) 如果是下三角矩陣, 而是單位上三角矩陣, 則稱三角分解為克勞特分解。3) 如果是單位下三角矩陣, 為上三角矩陣, 則稱三角分解為杜利特分解。4) 如果, 稱為不帶平方根的喬累斯基分解。5) 如果, , 則, 由于, 則, 稱為帶平方根的喬累斯基分解.. 階非奇異矩陣可作三角分解的充要條件是,這里為的階順序主子陣, 以下同. 證明 必要性. 設非奇異矩陣有三角分解, 將其寫成分塊形式
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