【文章內(nèi)容簡介】 對橫向濾波器抽頭權(quán)值進行自適應(yīng)的控制過程算法。 其中橫向濾波器的各個詳細部分如下圖 22 所示。由圖中可以看出抽頭的輸入為)(nu ， )1( ?nu ， … ， )1( ??Mnu 構(gòu)成的 M? 1 抽頭向量 )(nu 。延遲單元的個數(shù)為 M1，同樣的抽頭權(quán)值由 )(0nw? ， )(1nw? ， … ， )(1 nwM?? 構(gòu)成的 M? 1 抽頭權(quán)向量 )(nw? 。我們用 LMS 算法來對所得的值來計算估計，當?shù)螖?shù)接近無窮大時，那么期望值有可能趨近于維納解。在整個濾波的過程，期望響應(yīng) )(nd 和抽頭輸入 )(nu 時同時處理的，所以在給定的一個輸入下，橫向濾波器過濾后的輸出值當做期望響應(yīng)的 )(nd 的估計。期望響應(yīng)和 實際的橫向濾波器的輸出誤差定義為估計誤差 )(ne 。在圖 22 中，可以得出估計誤差與抽頭輸出向量都是屬于自適應(yīng)控制的部分，所以整個抽頭權(quán)值反饋環(huán)路是屬于閉環(huán)的。 另外，自適應(yīng)權(quán)值控制的結(jié)構(gòu)圖下圖 23 所示。首先是對 k=0， 1， ....,M2， M1 時，計算估計誤差 e(n)與抽頭輸入 u(nk)的內(nèi)積，然后會在 n+1 次迭代中用于 )(nwk? 。其中 u 表示標度因子，也稱為步長參數(shù)。在圖 23 中可以看出每個期望算子都是被路徑移走， LMS 算法會因為抽頭權(quán)值的迭代計算在不同程度上受到梯度噪聲的影響。 Z ? 185。 ∑Z ? 185。 ∑ Z ? 185。 ∑ ∑ ∑ u ( n ) u ( n 1 ) u ( n 2 ) u ( n M + 2 ) u ( n M + 1 )e ( n )+d ( n )圖 22 橫向濾波器結(jié)構(gòu)框圖 )(nd? )(0nw?? )(1nw?? )(2nw?? )(2 nwM??? )(1 nwM??? 西南科技大學本科 生畢業(yè)論文 10 uu ( n )u ( n 1 )u ( n 2 )u ( n M + 2 )U ( n — M + 1 )...... 圖 23 權(quán)值自適應(yīng)控制算法模型 在 LMS 算法中，抽頭的輸入和期望 響應(yīng)之間是線性關(guān)系，并且通過回歸模型構(gòu)建起來，其中的參數(shù)是未知的，因此需要自適應(yīng)的方法來濾波。根據(jù)前面的了解，因為梯度噪聲一直都有， LMS 算法的表現(xiàn)也會有所變化，不僅僅只在于維納解。當 LMS 濾波器在工作時有反饋作用，會造成穩(wěn)定性的問題。那么，如何來解決這個問題成為關(guān)鍵。 需要 定義 J(n)為在 n時刻， LMS 算法的濾波器產(chǎn)生的均方誤差，只要保證這個值在任何時候都趨近于一個常數(shù)就可以滿足穩(wěn)定性的要求，即： )()( ??JnJ 當 ??n （ 21） 這樣就確保了無論 n為何值， J(n)都在穩(wěn)定的范圍內(nèi)，這種情況下 LMS 算法穩(wěn)定性較好。而要滿足這種情況，步長參數(shù) u和輸入信號必須滿足適當?shù)臈l件。 另外， 定義一個 )(?exJ 為額外均方誤差，均方誤差數(shù)是 )(?J 與維納解 minJ 之差。其值代表的是 )(0 nw?? )(1nw?? )(2 nw?? )(2 nwM??? )(2 nwM??? )(ne? 西南科技大學本科 生畢業(yè)論文 11 自適應(yīng) LMS 算法中抽頭權(quán)值取代最速算法的方法的代價。把兩者之比定義為失調(diào)，用來衡量 LMS 算法的穩(wěn)態(tài)解與維納解的相差度，其值是可以通過設(shè)計來控制。通過調(diào)整步長參數(shù) u的大小，可以減少梯度噪聲對抽頭權(quán)值的影響。所以在應(yīng)用 LMS 算法的濾波器時，選擇適當?shù)牟介L參數(shù)值是影響濾波器的重要因素。 基于 LMS 算法的自適應(yīng)均衡器 在最速下降算法中，假設(shè)有合適的步長參數(shù) u 而且可以確切的測量到每一次迭代的梯度向量 )(nJ? ，那么最后得到的抽頭向量將會趨于維納解 ]1[ 。但是，以上條件都是不能滿足的，所以在不確定的環(huán)境中必須由目前可以用到的數(shù)據(jù)來估計梯度向量。這就是自適應(yīng) LMS 算法所要做的。 首先定義出梯度向量的表示： )(22)( nRwpnJ ???? （ 22） 其中 R是相關(guān)矩陣， p代表抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的互相關(guān)向量。然后，分別用式（ 23），式（ 24）來表示 R和 p的瞬態(tài)估計： )()()( nununR H?? （ 23） )()()( ndnunp ?? （ 24） 所以梯度向量的瞬態(tài)估計則表示為： )()()(2)()(2)( nwnunundnunJ H ??? ???? （ 25） 通常情況下，由于抽頭向量是隨機的而且依賴于輸入向量，這樣得到的瞬態(tài)估值是有偏的。所以，根據(jù)最速下降方法來得出的最小均方幾個基本的關(guān)系式： 濾波輸出： ? ? )()( nunwny H?? （ 26） 估計誤差或誤差信號： )()()( nyndne ?? （ 27） 抽頭權(quán)向量自適應(yīng)： )()()()1( nenunwnw ??? ??? ? （ 28） 由上式中可以看出在隨機輸入時，利用 LMS 算法一次來完成迭代循環(huán)的方向是不定的，所以在應(yīng)用時不能把純梯度方向當做是允許的方向。下圖（ 24）將給出基于 LMS 算法的信號流圖，由圖中可以看出自適應(yīng) LMS 算法并不復雜。其中，令 M 值為自適應(yīng)橫向濾波器的抽頭權(quán)值，可 以發(fā)現(xiàn) LMS 算法完成一次迭代時需要復數(shù)乘法和復數(shù)加法分別為 2M+1 和 2M,相當于其計算復雜度為 O(M)?？梢钥闯?LMS 算法使用瞬時估計，性能的收斂和穩(wěn)定性不是很好。但 LMS 算法能夠在自適應(yīng)的過程中針對其中的值進行平均估值，這就是 LMS 算法的優(yōu)勢所在。 西南科技大學本科 生畢業(yè)論文 12 u ( n ) u ∑ Ie * ( n ) 圖 24 LMS算信號流圖 下面將把 LMS 算法的過程做一個概括： 首先 需要 要做一個初始化，有兩種情況。一是知道抽頭的權(quán)向量，那么 就 能夠根據(jù)抽頭的權(quán)向量來選擇合適的 )0(?w 。而是相反的情況，不知道抽頭權(quán)值向量，那么直接讓 )0(?w =0. 然后根據(jù)當前時刻的濾波器各個參數(shù)計算誤差信號，誤差信號與濾波器系數(shù)矢量估值 )(nw? ，輸入信號矢量 x(n)以及期望信號 d(n)有關(guān)： )()()()( nunwndne H??? （ 29） 利用遞歸計算使濾波器的系數(shù)矢量更新估值： )()()()1( nenunwnw ??? ??? ? （ 210） 把 n取 1,2...，一直重復以上步驟計算，是濾波器達到穩(wěn)態(tài)為止。 上面總結(jié)了 LMS 算法的整個過程，接下來就要研究如何基于 LMS 算法實現(xiàn) 信道均衡。如下圖 25所示，這是基于 LMS 算法的自適應(yīng)均衡器信道模型。 隨 機 噪 聲發(fā) 聲 器 1信 道∑∑ 隨 機 噪 聲發(fā) 聲 器 2延 時基 于 L M S 算 法的 自 適 應(yīng) 橫向 均 衡 器X nν （ n ） + 圖 25 基于 LMS 算法的自適應(yīng)均衡器實驗模型 )1( ?? nw Iz1? )(nw? )(nuH 西南科技大學本科 生畢業(yè)論文 13 在圖 25 中，用 隨機噪聲發(fā)生器 1是用來產(chǎn)生測試信號 nx ， 隨機數(shù)發(fā)生器 2是用來表示干擾信道輸出的白噪聲聲源 )(nv ，這兩個隨機參數(shù)都是相互獨立的。 基于LMS算法的 自適應(yīng)均衡器用來改變加性白噪聲造成的信道畸變 ，這就需 要利用前面總結(jié)的 LMS 算法的過程 。 經(jīng)過合理的延遲，隨機發(fā)聲器 1也會提供用做訓練序列的自適應(yīng)濾波器響應(yīng)。隨機數(shù)發(fā)聲器 2產(chǎn)生的序列 v(n)具有零均值，方差的值為 。 首先 把加入到信道的隨機序列設(shè)為 ??nx ，由伯努利序列組成， 1??nx 且具有零均值和單位方差，令信道的脈沖響應(yīng)可以用升余弦表示 然后用 參數(shù) W 是控制均衡器抽頭輸入的相關(guān)矩陣的特征值分布 )(R? 。其中 把均衡器的抽頭系數(shù) M 設(shè)為 11， 利用 信道脈沖響應(yīng) nh 的對稱與 均衡器的最優(yōu)抽頭權(quán)值 的對稱實現(xiàn)兩者 求卷積后得到均衡器的期望響應(yīng)，通過選擇橫向濾波器中均衡器中點的合適延時 LMS 算法可以提供信道響應(yīng)最小相位分量和其值之逆 。另外根據(jù)步長，特征值擴散度等參數(shù)來研究和分析其性能的優(yōu)劣。整個信道模型大概就是這樣通過 LMS 算法來實現(xiàn)的 ，實驗中所用到的詳細參數(shù)會在第四 章中具體介紹。 LMS 算法收斂性分析 影響濾波器的主要性能指標有很多，主要有以下幾點： a、收斂性：就是說當?shù)螖?shù) n 無線趨近于無窮大時，濾波器的全矢量一直能夠趨近于最優(yōu)解； b、收斂速度：是指當輸入恒定時且最后通過迭代算法得出的解趨近于最優(yōu)解，也就是收斂于最優(yōu)解的時候，所需要的算法的迭代次數(shù)； c、穩(wěn)態(tài)誤差：簡單的說就是指當濾波器進入穩(wěn)態(tài)時的系數(shù)和最優(yōu)解的距離遠近； d、計算復雜度：就是說濾波器在更新自身的權(quán)系數(shù)時所需要的計算量。這些性能每個都具有一定的相關(guān)性，相互影響。這些都是分析濾波器是否能夠 對信號進行良好的處理的重要指標。而在 LMS 算法中收斂性是最重要的因素。所以， 接下來 將針對 LMS 算法的收斂性能進行分析。 收斂性是指當?shù)螖?shù) n 無論取何值時，濾波器的的權(quán)矢量 w(n)都能夠趨近于最優(yōu)值 0w 。下面將做一個獨立性的假設(shè)來方便分析 LMS 算法。 首先， 需要 獨立統(tǒng)計各種參數(shù)在 n+1時刻的值：濾波器的權(quán)矢量 w(n+1),濾波器輸入信號 x(n+1),期望響應(yīng) d(n+1).其次，我們要將 LMS 算法中 n 時刻的輸入信號與去過去所有時刻 的值進行獨立統(tǒng)計，換句話說就是 : ? ? 0)()( ?kxnxE T k=0,1,...n1 （ 211） 最后，將 n 時刻的輸入信號與過去所有時刻的期望響應(yīng) d(k)也做一個獨立統(tǒng)計，也就是說滿足式（ 212） 西南科技大學本科 生畢業(yè)論文 14 ? ? 0)()( ?kdnxE k=0,1....n1 （ 212） 在滿足上述條件下，可以得到濾波器的權(quán)值誤差是 矢量為： )()( 0 nwwnv ?? （ 213） 經(jīng)過綜合幾個公式，簡化后得： )()()()1( nxnenvnv ???? （ 214） 現(xiàn)在做一個假設(shè)，令 t(n)為在輸入端的觀察噪聲且與輸入信號相互獨立，即不相關(guān)，則可以得到： ? ? 0)()( ?nxntE （ 215） 繼而可以 推出 期望響應(yīng) d(n)和估計誤差 e(n)為： )()()( 0 ntwnxnd T ?? （ 216） )()()()()()()( ntnvnxnwnxndne TT ???? (217) 然后將式（ 217）化簡可以得到： ? ? )()()()()( )()()()()()()1( nxntnvnxnxI nxntnvnxnxnvnv TT??????????? （ 218） 最后將上式的兩端分別期望，可以得出： )]([)())1(( nvERInvE ???? （ 219） 其中， R表示輸入信號自相關(guān)矩陣，如式（ 220）所示，然后采用特征值分解可以表示為式（ 221） ? ?)()( nxnxER T? （ 220） TR )(?? （ 221） 最后 則 得到式（ 222） ? ? )]0(39。[39。)39。()(39。 vEInvE ??? ? （ 222） 其中用 )0(