【文章內(nèi)容簡介】 ted)模式使用的無記憶非線性函數(shù)是一“閥值決策裝置” 。給定橫向濾波器輸出信號 ,閡值決策裝置根據(jù)發(fā)射信號的字符集，對 做出決策()xn? ()xn?判斷，使判斷結(jié)果 與 最接近，例如，在二進制等概率數(shù)據(jù)序列的簡單情況下，?數(shù)據(jù)和決策取值分別為 (213)1, ?() ()sgn()0xnx????????對 字 符對 字 符將決策指向算法與 Bussgang 算法作一比較，可見決策指向算法是取 g(.)=sgn(.)的Bussgang 算法。 Sato 算法M 進制 PAM(脈沖幅度調(diào)制)系統(tǒng)的盲均衡最早是 Sato 于 1975 年提出的。在 Sato算法里，將代價函數(shù)定義為: =E (214)()Jn{()sgn()}xx????2||式中， 為常數(shù)，定義為 = .很顯然，Sato 算法是 Bussgang 算法取 g(.)??2}E|= sgn(.)時的一個特例。 Godard算法 .Godard[2]于1980年提出了一種可用于二維數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)的盲均衡算法，它最大的特點是將幅度的均衡和相位恢復(fù)獨立進行，互不干擾，因而允許靈活采用載波同步方案，這對載波偏移較大的系統(tǒng)特別有用。Godard在算法中應(yīng)用了一種新的代價函數(shù) (215)2()|()|pnxR??JE?式中， 為一常數(shù)定義為pR (216)2|()|ppRx將式(215)兩邊對均衡器權(quán)向量 求導(dǎo)可得代價函數(shù)對 的梯度ww (217)*2()2[||(|)]na ppnnnNER????? ??Jyy??去掉上式中的數(shù)學(xué)期望操作即為Godard迭代算法中的隨機梯度，因此，均衡器抽頭系數(shù)的更新公式為: (218)*2()||()|ppnwxxnR????n+Ly??由上式可知，Godard算法是Bussgang算法中的無記憶非線性函數(shù) (219)()({()()}gxxxn????p12p1|+||| 恒模算法的提出Godard最早提出了恒模算法(CMA)，它是Bussgang類盲均衡算法中最常用的一種。Godard算法無記憶非線性函數(shù)。表達式g() 如下: (220)()({()()}xngRxn????p12p1|+|||式中， p=1,2,......())Rxn2ppp=E{|}/{|}當 p= 2 時， Godard算法就是CMA算法。它通過調(diào)節(jié)線性均衡器的抽頭增益來達到使代價函數(shù)減小的目的。CMA以其計算復(fù)雜度低、易于實時實現(xiàn)等優(yōu)點，成為通信系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的盲均衡技術(shù)。恒模盲均衡算法適用于所有具有恒定包絡(luò)（簡稱恒模）和一部分非恒包絡(luò)（如QAM）的發(fā)射信號的均衡。CMA 算法無記憶非線性函數(shù) g(.)為: (221)()({()}xngRxn???32|+|||式中， 是常數(shù)。()()Rxn422=E{|}/{|}根據(jù)信號傳輸理論和圖 21 可知: 均衡器的輸入為 : = = (222)y*()hnx?()()ihnxin???均衡器的輸出為: = = = (223)()x?()w())iyi()TWYCMA 算法的權(quán)值迭代公式為 (224)22(1)()[()]()*nxnRn???W??|式中， 為迭代步長因子，通常取足夠小的正常數(shù)，它決定收斂的速度。? 恒模算法的理論推導(dǎo)CMA 算法的代價函數(shù)為: (225)2()[()]nJExR???|選取這個代價函數(shù)的合理性在于，發(fā)送信號的功率應(yīng)該是恒定的，均衡器輸出信號的功率也應(yīng)該是恒定的。按照最速下降法的迭代公式: (226)J[()](1)(nn????WW=有: (227)22[()]()()JxExnRnn???????????|| 因為 = ，故有:()xn?()TY= =2 =2 (228) 2()?W|()?()()nnT*TYW()()n*TY()n*Yx?于是: =4E (229)[()]Jn?2[()()]xRx???*|用隨機梯度代替梯度的期望值，得到算法公式: 4a (230)(1)(?=W()n?2)(n*Y|現(xiàn)在進一步考慮 應(yīng)該取什么值才是合理的。對均衡器的要求是:當達到理想均衡2R時，必須有:=0 (231)[()]Jn?/所謂達到理想均衡，就是均衡器輸出序城 n)是發(fā)送序列 x(n)的一個延時版本，即:= (232)()xn???jnTe?其中， 是一個固定的相位。()nT?由 =0 和式(39) 得到:[]()J?W/ (233)2[()()]ExnxR???*Y2| [()]Enx?*Y也就是對應(yīng)元素相等 i=0, (234)**2[()()][()]yy???2| 1,?注意到均衡器輸入序列可以一般地寫成: (235)??()()jiixnhime????式中， 包括發(fā)送濾波器、信道和接收機前端(不含均衡器)的復(fù)合信道沖激響應(yīng)。 ht是頻率偏移和相位抖動引起的時變相位移。 (i?各個序列統(tǒng)計獨立，隨機相位與發(fā)送序列互不相關(guān)。在向量 中的元 只有()nYy()i滿足 的項對 和 有貢獻。這時顯然有:mn?*[()()]Exnyx??2| *[()]Eynx?=kE (236)[2| ()????4|以及: E =kE (237)*[()]ynx?()xn?2式中，k 是信道引入的確定性貢獻。既然要求: (238)**2[()()][()]xnyxREynx????2|則對 取值的要求就是:2R= (239)2()xEn?????42|表 21 給出了 Godard 算法或常數(shù)模算法小結(jié)。表 21 中，CMA 是對常數(shù)膜性能曲面進行隨機梯度最小化運算的。與經(jīng)過訓(xùn)練的均衡器的單峰 MSE 性能曲面相比，盲均衡器的常數(shù)模性能曲面是多峰的。誤差曲面的多模式性和缺少期望響應(yīng)信號大大影響了 CMA 的收斂性能。CMA 在初始化、收斂速率與超量 MSE 等方面有它自己的特點。表 21 Godard 算法或常數(shù)模算法小結(jié)運算 等式均衡器 ()(1)Lkxnwynk??????誤差 22[||]eRx?更新 ()1)()nne???yGodard 常數(shù)422{||}()Ex? (1) 初始化由于 CMS 誤差曲面是非凸的，算法可能會收斂于一個非期望的最小值，這就說明了初始化過程的重要性。在實際中，所有的均衡器都用選擇中心方法來初始化，即除了中心（參考）系數(shù)設(shè)定為大于某一常數(shù)外，所有其他的系數(shù)都設(shè)為零。(2) 收斂速率經(jīng)過訓(xùn)練的 LMS 算法有一個有界的收斂速率，因為二次誤差曲面的 Hessian 矩陣（它決定了曲率）是恒定的。由于常熟模準則的誤差曲面是多峰的，并且包含鞍點，所以 CMA 的收斂速率在鞍點附近較低，它與在一個局部最小值附近經(jīng)過訓(xùn)練的 LMS收斂速率相當。(3) 超量 MSE在經(jīng)過訓(xùn)練的 LMS 算法中，超量 MSE 由步長、MMSE 、濾波器系數(shù)的數(shù)量和輸入信號的功率決定，并且 CMA 的超量 MSE 也取決于原信號的峭度。 步長因子對恒模算法收斂性能的影響實驗一：用 MATLAB 對 CMA 算法進行了仿真，輸入信號采用 4QAM 調(diào)制方式，信噪比為 20dB, 濾波器階數(shù)為 11, 信道采用典型電話信道。步長分別為、仿真實驗運行總次數(shù)為 3000 次。=+ + + (240)??Hz1Z?2?3Z?4?5Z?6?0 500 1000 1500 2022 2500 3000 3500 4000 4500 代代代代MSECMA u1=u2==(a)收斂曲線1 0 1101代代代代 1 0 1 101代代代代(b) 4QAM 信號的星座圖 (c) 均衡器輸入星座圖 1 0 1 101代代代代 1 0 1 101代代代代(d)步長 對應(yīng)的均衡器輸出星座 (e) 步長 對應(yīng)的均衡器輸出星座1 0 1101代代代代(f) 步長 對應(yīng)的均衡器輸出星座圖 25 不同步長 CMA 算法仿真圖 25(a)為 4QAM 信號通過典型電話信道采用不同步長值對應(yīng)的收斂曲線比較。圖 25 (b)為 4QAM 信號的星座圖。圖 25 (c)~(f)為 4QAM 信號通過典型電話信道采用不同步長值對應(yīng)的均衡前后的星座圖。圖 25 (a)的仿真結(jié)果證實，采用大步長，能夠加快收斂速度，但同時會帶來大的穩(wěn)態(tài)剩余誤差和誤碼率。為了減小算法收斂后的穩(wěn)態(tài)剩余誤差和誤碼率應(yīng)采用小步長，但這樣會使算法收斂速度變慢。從圖 25 (b)~(f)中可以看出，算法均衡后的星座更加集中、清晰，具有更小的穩(wěn)態(tài)剩余誤差和誤碼率。實驗二：用 MATLAB 對 CMA 算法進行了仿真，輸入信號采用 4QAM 調(diào)制方式，信噪比為 15dB, 濾波器階數(shù)為 7, 信道采用普通信道。步長分別取 、仿真實驗運行總次數(shù)為 3000 次。=1+ + (241)??Hz1Z?23Z?40 100 200 300 400 500 600 70012代代代代MSECMA u1=u2=(a)收斂曲線1 0 1101代代代代 2 1 0 1 221012代代代代(b) 4QAM 信號的星座圖 (c) 均衡器輸入星座圖2 1 0 1 221012代代代代 2 1 0 1 221012代代代代(d)步長 對應(yīng)的均