【文章內容簡介】 , Φ。③對i=1,2,…,N,有P（）=True。④對i≠j，P（）=False。⑤i=1,2, …,N, 是連通的區(qū)域。其中P（）是對所有在集合中元素的邏輯謂詞，Φ代表空集。下面先對上述各個條件分別給予簡略解釋。條件①指出對一幅圖像所得的全部子區(qū)域的綜合（并集）應能包括圖像中所有像素（就是原圖像），或者說分割應將圖像的每個像素都分進某個區(qū)域中。條件②指出在分割結果中各個子區(qū)域是互不重疊的，或者說在分割結果中一個像素不能同時屬于兩個區(qū)域。條件③指出在分割結果中每個子區(qū)域都有獨特的特性，或者說屬于同一個區(qū)域中的像素應該具有某些相同特性。條件④指出在分割結果中，不同的子區(qū)域具有不同的特性，沒有公共元素，或者說屬于不同區(qū)域的像素應該具有一些不同的特性。條件⑤要求分割結果中同一個子區(qū)域內的像素應當是連通的，即同一個子區(qū)域的兩個像素在該子區(qū)域內互相連通，或者說分割得到的區(qū)域是一個連通組元。另外，上述這些條件不僅定義了分割，也對進行分割有指導作用。對圖像的分割總是根據一些分割準則進行的。條件①與條件②說明正確的分割準則應可適用于所有區(qū)域和所有像素，而條件③和條件④說明合理的分割準則應能幫助確定各區(qū)域像素有代表性的特性，條件⑤說明完整的分割準則應直接或間接地對區(qū)域內像素的連通性有一定的要求或限定。最后需要指出，實際應用中圖像分割不僅要把一幅圖像分成滿足上面5個條件的各具特性的區(qū)域而且需要把其中感興趣的目標區(qū)域提取出來。只有這樣才算真正完成了圖像分割的任務。圖像分割算法的研究一直受到人們的高度重視，到目前為止，提出的分割算法已經多達上千種，由于現有的分割算法粉腸多，所以將它們進行分類的方法也提出了不少。例如有把分割算法分成3類的：①邊緣檢測、②閾值分割和③區(qū)域生長。但事實上閾值分割算法分割的方法在本質上也是一種區(qū)域提取方法，所以③實際上包含了①。本章從實際應用的角度考慮，詳細介紹了圖像分割的如下算法：分割檢測、閾值分割、區(qū)域生長等。邊緣（Edge）是指圖像局部亮度變化最顯著的部分。邊緣主要存在于目標、目標與背景、區(qū)域與區(qū)域（包括不同色彩）之間，是圖像分割、紋理特征提取和形狀特征提取等圖像分析的重要基礎。圖像分析和理解的第一步常常是邊緣檢測（Edge Detection）。由于邊緣檢測十分重要，因此成為機器視覺研究領域最活躍的課題之一。本節(jié)主要討論邊緣檢測和定位的基本概念，并通過幾種常用的邊緣檢測器來說明邊緣檢測的基本問題。圖像中的邊緣通常與圖像亮度或圖像亮度的一階導數的不連續(xù)性有關。圖像亮度的不連續(xù)可分為：①階躍不連續(xù)，即圖像亮度在不連續(xù)處的兩邊的像素灰度值有著顯著的差異：②線條不連續(xù)，即圖像亮度從一個值變化到另一個值，保持一個較小的行程后又返回到原來的值。在實際中，階躍和線條邊緣圖像是很少見的，由于大多數傳感元件具有低頻特性，使得階躍邊緣變成斜坡型邊緣，線條邊緣變成屋頂形邊緣，其中的亮度變化不是瞬間的，而是跨越一定的距離。對一個邊緣來說，有可能同時具有階躍和線條特性。例如在一個表面上，由一個平面變化到法線方向不同的另一個平面就會產生階躍邊緣；如果這一表面具有鏡面反射特性且兩平面形成的棱角比較圓滑，則當棱角圓滑表面的法線經過鏡面反射角時，由于鏡面反射分量，在棱角圓滑表面上會產生明亮光條，這樣的邊緣看起來像在階躍邊緣上疊加了一個線條邊緣。由于邊緣可能與場景中物體的重要特性對應，所以它是很重要的圖像特征。比如，一個物體的輪廓通常產生階躍邊緣，因為物體的圖像亮度不同于背景的圖像亮度。在討論邊緣算子之前，首先給出下列術語的定義。邊緣點：圖像中亮度顯著變化的點。邊緣段：邊緣點坐標[i,j]及其方向θ的綜合，邊緣的方向是可以是梯度角。邊緣檢測器：從圖像中抽取邊緣（邊緣點或邊緣段）集合的算法。輪廓：邊緣列表，或是一條邊緣列表的曲線模型。邊緣連接：從無序邊緣表形成有序邊緣表的過程。習慣上邊緣的表示采用順時針方向來排序。邊緣跟蹤：一個用來確定輪廓圖像（指濾波后的圖像）的搜索過程。邊緣點的坐標可以是邊緣位置像素點的行、列整數標號，也可以在子像素分辨率水平上表示。邊緣坐標可以在原始圖像坐標系上表示，但大多數情況下是在邊緣檢測濾波器的是輸出圖像的坐標系上表示，因為濾波過程可能導致圖像坐標平移或者縮放。邊緣段可以用像素點尺寸大小的小線段定義，或用具有方向屬性的一個點定義。在實際應用中，邊緣點和邊緣段都稱為邊緣。由于邊緣檢測器生成的邊緣集分成兩個：真邊緣和假邊緣集。真邊緣集對應場景中的邊緣，假邊緣集不是場景中的邊緣。還有一個邊緣集，即場景中的漏邊緣集。假邊緣集稱之為假陽性（False Positive），而漏掉的邊緣集則稱之為假陰性（False Negative）。邊緣連接和邊緣跟蹤之間的區(qū)別在于：邊緣連接是把邊緣檢測器產生的無序邊緣集作為輸出，輸入一個有序邊緣集；邊緣跟蹤則是將一幅圖像作為輸入，輸出一個有序邊緣集。另外，邊緣檢測使用局部信息來決定邊緣，而邊緣跟蹤使用整個圖像信息來決定一個像素點是不是邊緣。梯度邊緣檢測算法有如下4個步驟。（1） 濾波：邊緣檢測算法主要是基于圖像強度的一階和二階導數，但導數的計算對噪聲敏感，因此必須使用濾波器來改善與噪聲有關的邊緣檢測器的功能。需要指出的是，大多數濾波器在降低噪聲的同時也導致了邊緣強度的損失，因此，增強邊緣和降低噪聲之間需要折中。（2） 增強：增強邊緣的基礎是確定圖像各點鄰域強度的變化值。增強算法可以將鄰域（或局部）強度值有顯著變化的點突顯出來。邊緣增強一般是通過計算梯度幅值來完成的。（3） 檢測：在圖像中有許多點的梯度幅值比較大，而這些點在特定的應用領域中并不都是邊緣，所以應該用某些方法來確定哪些點是邊緣帶內。最簡單的邊緣檢測判據是梯度幅值閾值判據。（4） 定位：如果某一應用場合要求來確定邊緣位置，則邊緣的位置可在子像素分辨率上來估計，邊緣的方位可以被估計出來。在邊緣檢測算法中，前3個步驟用得十分普遍。這是因為大多數場合下，僅僅需要邊緣檢測器指出邊緣出現在圖像某一像素點的附近，而沒必要指出邊緣的精確位置或方向。在這本文主要討論常用的幾種邊緣檢測器，并調用其中的函數進行邊緣檢測得出效果圖。效果圖讀入圖像圖41 梯度邊緣檢測流程圖 Prewitt算子檢測LoG算子檢測Canny算子檢測Robert交叉算子為梯度幅值計算提供了一種簡單的近似方法： （41）用卷積模板表示方法，上式變成： （42）其中和由下面的模板（43）計算：01101001= =在計算梯度時，計算空間同一位置（x,y）的真實偏導數非常重要。采用上述22鄰域模板計算的梯度近似值和并不位于同一位置，實際上是內差點處的近似梯度，實際上是內差點出的近似梯度。因此，Robert算子是該點連續(xù)梯度的近似值，而不是所預期點處的近似值。所以，通常用33鄰域計算梯度值。 正如前面所講，采用33鄰域可以避免在像素之間內插點上計算梯度?？紤]下圖中所示的點周圍點的排列。Sobel算子也是一種梯度幅值： （44）其中的偏導數用下式計算： （45） （46）其中常系數c=2.和其他的梯度算子一樣和可分別用卷積模板表示為： 101202101121000121這一算子把重點放在接近于模板中心的像素點。Sobel算子是邊緣檢測中最常用的算子之一。Prewitt與Sobel算子的方程完全一樣，只是常系數c=1。所以和可分別用卷積模板表示為：101101101111000111下面使用MATLAB圖像處理工具箱中的edge函數利用以上算子來檢測邊緣。Edge函數提供許多微分算子模板，對于某些模板可以指定其是對水平邊緣還是對垂直邊緣（或者二者都有）敏感（即主要檢測是水平邊緣還是垂直邊緣）。Edge函數在檢測邊緣時可以指定一個灰度閾值，只有滿足這個閾值條件的點才視為邊界點。Edge函數的基本調用格式如下：其中，I表示輸入圖像，type表示使用的算子類型，parameter則是與具體算子有關的參數。下面用其中的Prewitt算子檢測圖像42（a），檢測結果如圖42（b）所示。程序清單見附錄，以下用Prewitt算子檢測邊緣： （a）原始圖像 （b）Prewitt算子檢測的邊緣圖42 邊緣檢測效果圖（Laplacian）算子前面討論了計算一階導數的邊緣檢測器，如果所求的一階導數高于某一閾值，則可確定該點為邊緣點，這樣做會導致檢測的邊緣點太多。一種更好的方法就是求梯度局部最大值對應的點，并認定它們是邊緣點，如圖43所示。在圖43中，若用閾值來進行邊緣檢測，則在a和b之間的所以點都被記為邊緣點。但通過去除一階導數中的非局部最大值，可以檢測出更精確的邊緣。一階導數的局部最大值對應著二階導數的零交叉點（Zero crossing）。這樣，通過找圖像強度的二階導數的零交叉點就能找到精確邊緣點。拉普拉斯（Laplacian）算子是常用的二階導數算子。xx閾值bax圖43 閾值邊緣檢測和二階導數的零交叉邊緣檢測比較平滑過的階躍邊緣二階導數是一個在邊緣點處過零的函數（見圖42）。拉普拉斯算子是二階導數的二維等效式，函數的拉普拉斯算子公式為： （47）使用差分方程對x和y方向上的二階偏導數近似如下： （48）上式近似是以點為中心的，以點為中心的近似為： （49）類似地有： （410）將（49）和（410）兩式合并為一個算子，用近似的拉普拉斯算子模板表示： （411）當拉普拉斯輸出出現過零點時就表明有邊緣存在，但是要去除無意義的零點（灰度值為0的區(qū)域）。(LaplacianGauss)算子前面介紹的梯度算子和拉普拉斯算子實質都是微分或查分算法，因此算法對噪聲十分敏感。所以，在邊緣檢測前，必須濾除噪聲。Mar和Hildreth將高斯濾波和拉普拉斯邊緣檢測結合在一起，形成LoG(LaplacianGauss)算法。LoG邊緣檢測器的基本特征是：（1） 平滑濾波器是高斯濾波器；（2） 增強步驟采用二階導數（二維拉普拉斯函數）；（3） 使用線性內插方法在子像素分辨率水平上估計邊緣的位置。 這種方法的特點是圖像首先與高斯濾波器進行卷積，這一步既平滑了圖像又降低了噪聲，孤立的噪聲點和較小的結構組織將被濾除。由于平滑會導致邊緣的延展，因此邊緣檢測器只考慮那些具有局部梯度最大值的點為邊緣點。這一點可以用二階導數的零交叉點來實現。拉普拉斯函數用作二維二階的近似，是因為它是一種無方向算子。為了避免檢測出非顯著邊緣，應選擇一階導數大于某一閾值的零交叉點作為邊緣點。 LoG算子對圖像進行邊緣檢測，輸出是通過卷積運算得到的，即： （412） 濾波（或平滑）、增強和檢測3個邊緣檢測的步驟對LoG算子邊緣檢測依然成立。其中高斯濾波器對圖像進行平滑，拉普拉斯算子將邊緣點轉換成零交叉點來實現，邊緣檢測通過零交叉點的檢測實現。 前一節(jié)介紹過，圖像的平滑會引起邊緣的模糊。高斯平滑元素導致圖像中邊緣和其他尖銳不連續(xù)的部分模糊，其中模糊量取決于σ值。σ值越大，噪聲濾波效果越好，但同時也丟失了重要的邊緣信息，影響了邊緣檢測器的性能。如果取小σ值，又有可能平滑不完全而留有太多的噪聲。大σ值濾波器在平滑相互鄰近的兩個邊緣時，可能會將它們連在一起，這樣只能檢測出一個邊緣。因此，在不知道物體尺寸和位置的情況下，很難準確確定濾波器的σ值。一般來說，使用大σ值的濾波器產生魯棒邊緣，小σ值的濾波器產生精確定位的邊緣，兩者結合，能夠檢測出圖像的最佳邊緣。 LoG算子也可以用MATLAB中的edge函數來檢測邊緣： BW=edge(I,’log’,thresh,sigma)式中thresh是邊緣檢測的閾值，sigma是高斯濾波器的σ值，默認為2。 下面用不同σ值的LoG算子檢測圖像的邊緣。程序清單見附錄，檢測結果分別如圖43（a）和43(b)所示。 (a) σ=2 （b）σ=3 圖44 不同σ值的LoG算子邊緣檢測效果圖比較上述兩幅圖像可以發(fā)現，σ值小，平滑程度輕，會出現零星的假邊緣；σ值大，平滑程度重，但是大部分真實的邊緣丟失，出現邊緣間斷現象。（Canny）算子 檢測階躍邊緣的基本思想是在圖像中找出具有局部最大梯度幅值的像素點。檢測階躍邊緣的大部分工作集中在尋找能夠用于實際圖像的梯度數字逼近。由于實際的圖像經過了攝像機光學系統(tǒng)和電路系統(tǒng)（帶寬限制）固有的低通濾波器的平滑，因此，圖像中的階躍邊緣不是十分陡立。圖像也受到攝像機噪聲和場景中不希望的細節(jié)的干擾。圖像梯度逼近必須滿足兩個要求：①逼近必須能夠抑制噪聲效應：②必須盡量精確地確定邊緣的位置。抑制噪聲和邊緣精確定位是