【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?變化范圍是 或2c39。22()4c?????39。(,4]??對(duì)于 ：表 21 中 對(duì)應(yīng)行的系數(shù) 只有一個(gè)負(fù)數(shù) ，有兩個(gè)正數(shù) 及11x_2ja_261a?_21a?，則有_25a?521_62_23max,????????????????????的變化范圍是 ， 或1c39。11cc???39。03c???39。0,?對(duì)于 ：表 21 中 對(duì)應(yīng)行 ， 而 ，則有33x_321a?_6_35a?1_3262m,x,1????????????????無(wú)上界，即有 ， 的變化范圍是 或 。3c?32c???339。3c???39。3,???對(duì) 的變化范圍，也可以直接從表退出，將 寫(xiě)成 。分別計(jì)算非基?39。3c?變量的檢驗(yàn)數(shù)并令其小于等于零——————————————————————————————————————————————————1139。 39。1223339。 39。155339。6332(0,)10(,)0(0,)21BBcCPcccc?????????????????????????????????????，要使 ， 同時(shí)小于等于零，解不等式組 得 ，同理，39。510????39。239。6 302c?????32???用此方法可求出 和 的變化區(qū)間。2c1 資源限量的靈敏度分析 為了使最優(yōu)基 不變，求 的變化范圍。設(shè) 的增量為 ， 的增量Brbrbrb?,原線性規(guī)劃的最優(yōu)解為 X，基變量 。(0,0)Trbb???? 39。139。0B??? 31939。139。1()BXb???? 320?????????? mrrmbbB???? 21211),( 3210_22_1121_2_139。 ?????????????????????????mrrmrrB bbX?????既要滿足 322_0,12,irib?????當(dāng) 時(shí)有 ，當(dāng) 時(shí)有 。令0ir??_irb????ir?_irb??——————————————————————————————————————————————————12 323_1_2max|0in|iriiirib??????????????因而要使得所有 ， ，必須滿足39。0ix?rb?12rb???這個(gè)公式與求 的上、下限的公式類似，比值的分子都小于等于零，分母是ic中第 r 列的元素， 大于等于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小1B?rb?值。當(dāng)某個(gè) 時(shí)， 可能無(wú)上界或無(wú)下界。0ir??r問(wèn)題 123123max405,Zxx????????求 ， ， 分別在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，原最優(yōu)基不變。1b23由表 21 知，最優(yōu)基 ， ， 分別為B1?BX1213413 3_12_321(,)0, 055,1BBpbXX??????????????????????????????????????? 對(duì)于 ：比值的分母取 的第一列，這里只有 ，而 ，則1b1? 1??2130??_115maxb??????????——————————————————————————————————————————————————13無(wú)上界，即 ，因而 在 內(nèi)變化時(shí)最優(yōu)基不變。1b?15b???1b??35,?? 對(duì)于 ：比值的分母去 的第二列， ， ，則2B?120??2?_12_1225maxin5bb????????????????即 在 上變化時(shí)最優(yōu)基不變。2b??15, 對(duì)于 ：比值的分母取 的第三列，有31B? ??__123351,5,b???????????????????故有 ， 在 上變化時(shí)最優(yōu)基不變315???3??0,上述 及 的最大允許變化范圍是假定其他參數(shù)不變的前提下，單個(gè)參數(shù)的變化jcib范圍，當(dāng)幾個(gè)參數(shù)同時(shí)在各自范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解或最優(yōu)基有可能改變?！?4第三章 參數(shù)線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)建模 實(shí)際問(wèn)題的提出根據(jù)市場(chǎng)要求，某生產(chǎn)單位可生產(chǎn) A、B、C 三種產(chǎn)品，其所需專業(yè)技人員，材料等有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表 31。表 31 產(chǎn) 品資 源A B C可用量（單位）技術(shù)力量材料 6 3 5 3 4 54530產(chǎn)品利潤(rùn)（萬(wàn)元） 3 1 4根據(jù)表 31 的資料，要求計(jì)算確定：1）獲得利潤(rùn)最大的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；2）產(chǎn)品 A 的利潤(rùn)在什么范圍內(nèi)變動(dòng)，前面計(jì)算出的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃不發(fā)生變化；3）如果開(kāi)發(fā)一種新產(chǎn)品 D，單位技術(shù)力量消耗是 8，材料消耗 2 單位，每件新產(chǎn)品可獲利 3 萬(wàn)元，如果從經(jīng)濟(jì)效益考慮，那么，這種新開(kāi)發(fā)的產(chǎn)品是否值得生產(chǎn)；4)該生產(chǎn)單位的技術(shù)力量數(shù)量是固定不變的,但生產(chǎn)材料不足時(shí)可以從市場(chǎng)購(gòu)買,每單位購(gòu)入價(jià)為 萬(wàn)元,那么,該單位要不要購(gòu)入生產(chǎn)材料擴(kuò)大生產(chǎn),以購(gòu)入多少最為——————————————————————————————————————————————————15適宜？這是一個(gè)實(shí)際生產(chǎn)的決策問(wèn)題，下面按要求分別計(jì)算最優(yōu)解，獲取量化的最優(yōu)決策。 實(shí)際問(wèn)題的分析與解決 獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃模型首先，根據(jù)表 31 的資料建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)A 產(chǎn)品生產(chǎn) 件1xB 產(chǎn)品生產(chǎn) 件2C 產(chǎn)品生產(chǎn) 件3x那么，最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型可以寫(xiě)成如下形式： ????????0,35436max2121xz其次，將上述數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式，以便利用單純形法進(jìn)行解算。加入松弛變量，得到以下標(biāo)準(zhǔn)形式： ???????0, 354346max2132139。 xz用單純形法求出上述線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。見(jiàn)表 32表 32jcBC基 ib31x1243x0405x?004x5453063345[5]100096min?jjcz?3 1 4 0 0——————————————————————————————————————————————————16044x3156[3]3514011015min?10jjcz??0 0 4?341x3531031013512jjcz?jj002 3d?00?43d?8經(jīng)過(guò)用單純形法計(jì)算求得最優(yōu)解,即能夠獲利潤(rùn)最大的生產(chǎn)計(jì)劃:A 產(chǎn)品生產(chǎn) 5 件,B 產(chǎn)品不生產(chǎn),C 產(chǎn)品生產(chǎn) 3 件。這樣，可以獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為 maxZ=35+43=27(萬(wàn)元) A 產(chǎn)品的利潤(rùn)變化區(qū)間的確定方法產(chǎn)品 A 的利潤(rùn)在什么范圍內(nèi)變化,使得前面求出的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃 (最大利潤(rùn))不變呢?設(shè) A 產(chǎn)品的利潤(rùn)為 d，將 d 帶入表 32 中，把 的系數(shù)換成 d，很顯然，如果檢1x驗(yàn)數(shù) ，則說(shuō)明仍為最優(yōu)解，換而言之，d的變化區(qū)間求出來(lái)了，問(wèn)題就解0jjCZ??決了，仍利用原單純形表重新計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)。見(jiàn)表 32 最下面一行。根據(jù)計(jì)算出的檢驗(yàn)數(shù)，有下列結(jié)果，如果 3045803dd????????則最優(yōu)解不變。解上式得 ,93412,558,3ddd???——————————————————————————————————————————————————17于是，得到這樣的結(jié)論：第一臨界值為 ，第二臨界值為 ，產(chǎn)品 A 利潤(rùn)在125245范圍內(nèi)變化時(shí)，不會(huì)對(duì)原最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃產(chǎn)生影響。124,5?????? 關(guān)于開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品的決策研究按照前面的材料及要求，如果生產(chǎn)新產(chǎn)品 D，要消耗單位技術(shù)力量 8，材料消耗 2單位，每件產(chǎn)品利潤(rùn)為 3 萬(wàn)元，從經(jīng)濟(jì)效益考慮是否值得生產(chǎn)？針對(duì)這種問(wèn)題，可以重新建立數(shù)學(xué)模型，求出最優(yōu)解，與原最優(yōu)解對(duì)比。以確定是否生產(chǎn)新產(chǎn)品。但實(shí)際工作中，尤其是比較復(fù)雜的生產(chǎn)決策問(wèn)題，如果用下面的方法處理，似更簡(jiǎn)單直觀。其原理和結(jié)果都是一樣的。設(shè)：增加新產(chǎn)品 D 生產(chǎn) 件，則 ， ，根據(jù)原最終表6x63C?6(8,2)TP615????????上式中的 是原最終表檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)。13()539。166128345PB?????????????????據(jù)此，在原最終表上增加一列，繼續(xù)迭代：表 33jC3 1 4 0 0 3B基 ib1x23x45x6341x35310?101 5?132[2]45?jjcz?0 2 0346x3525 4106?350165?1410——————————————————————————————————————————————————18jjcz?10?5930 73?100根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果,代入數(shù)學(xué)模型,得到以下結(jié)論:如果增加新產(chǎn)品 D(萬(wàn)元)???而增加產(chǎn)品 D 獲得利潤(rùn)為 萬(wàn)元，大于原最大生產(chǎn)利潤(rùn) 萬(wàn)元（原最大利潤(rùn)27 萬(wàn)元） ，從經(jīng)濟(jì)效益考慮，是值得生產(chǎn)的。 購(gòu)入原材料進(jìn)行擴(kuò)大再生產(chǎn)的必要性的理論分析由于問(wèn)題提出的前提是技術(shù)力量不變，如果需要時(shí)可以增加購(gòu)買原材料，單位價(jià)格 萬(wàn)元，這一問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是確定是否增加投入，購(gòu)買原材料，擴(kuò)大生產(chǎn)，那么購(gòu)買多少最適宜。仍利用原最終表，并將參數(shù)直接反映到最終表上，采用對(duì)偶單純形法計(jì)算見(jiàn)表 34。表 34jCB基 ib31x1243x0405x341x35310?101 5?312jjZC?0 2 0（將參數(shù)直接反映到最終表）341x3?52?103?10135?[ ]12jjZC?0 2 0045x3?1935613011510 jjZC??70 4?0——————————————————————————————————————————————————19原最終表中最后一列檢驗(yàn)數(shù)“ ”是影子價(jià)格，絕對(duì)值為 萬(wàn)元，而35?（萬(wàn)元） ，故購(gòu)入原材料是合算的。關(guān)于影子價(jià)格的含義在后面專門(mén)介紹。經(jīng)過(guò)上述計(jì)算，得到的結(jié)果是：材料市場(chǎng)價(jià)格低于影子價(jià)格，故可購(gòu)入，用參數(shù)規(guī)劃計(jì)算，確定購(gòu) 15 個(gè)單位最佳。 影子價(jià)格的含義及分析關(guān)于影子價(jià)格，仍用前例來(lái)說(shuō)明。在表中技術(shù)力量可用量為 45（單位） ，材料可用量為 30（單位） 。從廣義上理解，45 和 30 代表的是不同資源的擁有量，它的對(duì)偶變量則代表對(duì)第 種資源的估價(jià)。這種估價(jià)不是資源的市場(chǎng)價(jià)格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中iyi產(chǎn)生貢獻(xiàn)所作出的估價(jià)，它是生產(chǎn)單位的產(chǎn)品所存在的一種特殊的估計(jì)價(jià)格，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱之為影子價(jià)格（shadowprice） 【3】 。（1）資源的市場(chǎng)價(jià)格是已知數(shù)，相對(duì)而言，是比較穩(wěn)定的，而影子價(jià)格直接受到資源利用情況的影響，因此是未知數(shù)。從前面的例子可以知道，如果生產(chǎn)單位的生產(chǎn)任務(wù)、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)等情況發(fā)生變化時(shí)，資源的影子價(jià)格也會(huì)隨之改變。（2）影子價(jià)格是一種邊際價(jià)格。由對(duì)偶問(wèn)題的性質(zhì)可知，在利用單純形法每步迭代中，恒有 ，由于 ， ，故 。WZ???njjxc1?miiybW1??miiybZ1如果原問(wèn)題中的 ， 都不發(fā)生變化，而 中只有 發(fā)生變化，可jcija),2(i? k以預(yù)見(jiàn)，若限定 在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，原問(wèn)題的最優(yōu)基 B 可能保持不變，這里若把kb最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 ，看成是 的函數(shù)，則偏導(dǎo)數(shù)?miiybZ1mb,1? 31kyZ??即為 增加一個(gè)單位時(shí)所引起的最優(yōu)值的改變量。kb（3）資源的影子價(jià)格又是一種機(jī)會(huì)成本。仍以前例來(lái)說(shuō)明，如果購(gòu)買原材料，其市場(chǎng)價(jià)格是 萬(wàn)元，而計(jì)算出的影子價(jià)格是 萬(wàn)元，當(dāng)然買進(jìn)時(shí)合算的。鑒此，可以得出這樣的結(jié)果：在生產(chǎn)決策中，資源的市場(chǎng)價(jià)格低于影子價(jià)格，即可買進(jìn)，反之又可以賣出這種資源。影子價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格保持同等水平，則處于平衡狀態(tài) 【3】 。——————————————————————————————————————————————————20（4）由于對(duì)偶問(wèn)題的互補(bǔ)松弛性質(zhì)中有“當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)???njijibxa10?iy1?y有 ”，這表明生產(chǎn)中若某種資源的擁有量 未得到充分利用時(shí)，該資源的影??njiibxa1 i子價(jià)格為 0 時(shí)，表明該種資源在生產(chǎn)中以耗盡。（5）影子價(jià)格的計(jì)算可以反映出產(chǎn)品的隱含成本， （生產(chǎn)單位產(chǎn)品消耗資源的影子價(jià)格的總和即產(chǎn)品的隱含成本） 。當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)值大于隱含成本時(shí)，表明生產(chǎn)該種產(chǎn)品有利，反之，說(shuō)明利用該資源生產(chǎn)其他產(chǎn)品會(huì)更有利。此即單純形法中各個(gè)檢驗(yàn)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。（6）一般來(lái)說(shuō)，對(duì)線性規(guī)劃原問(wèn)題求解是確定資源的最優(yōu)配置，而對(duì)于對(duì)偶問(wèn)題的求解則是對(duì)資源的恰當(dāng)估價(jià)，這種估價(jià)對(duì)合理利用資源，控制成本，計(jì)算最低利潤(rùn)等都是實(shí)用有效的。第四章 兩參數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的解法 兩參數(shù)線性規(guī)劃的定義兩參數(shù)線性規(guī)劃定義為如下形式的線性規(guī)劃（記為 ）),(21?LP 41其中 是給定的價(jià)值向量， 是給定的變化向量，),(21nC?? ),(~21~nC??是給定的右端系數(shù)向量， 是變化向量， ， 為T(mén)mbb? Tmbb? 1?2未知參數(shù)。顯然，當(dāng) 時(shí)， 變成 ，這就是通常的線性規(guī)劃021??),(