【正文】 ....................................................................................................................................... 18 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 緒 論 大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中很重要的定理 ,也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系的關(guān)鍵所在 。 從 17世紀(jì)到現(xiàn)在 ,很多國(guó)家對(duì)這兩個(gè)公式 有了多方面的研究 。 本文共分 3章 ,每章結(jié)合具體問(wèn)題展開(kāi)討論 ,內(nèi)容涉及對(duì)基本公式概念的理解 ,對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的剖析 ,定理的具體應(yīng)用 ,結(jié)合實(shí)際 ,分析解答了有關(guān)的典型例題 。 本文給出的例子 ,更貼近人們的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生活和生產(chǎn)管理 ,更具有時(shí)代氣息 。 １ 大數(shù)定律的應(yīng)用 引言 生產(chǎn)、生活及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的風(fēng)險(xiǎn)事故都具有不確定性 ， 或者稱(chēng)為隨機(jī)性 。 如果各種條件都能預(yù)知 ,則事物發(fā)生的結(jié)果 也能予以正確地測(cè)定， 此時(shí)雖然風(fēng)險(xiǎn)事故仍然存在 ， 損失仍然會(huì)發(fā)生 ， 但是 ， 隨機(jī)性將因此消失 。 它的結(jié)論也可敘述為：大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必 然的數(shù)量規(guī)律 。 定義 3 設(shè) ? ?)(xFn 是分布函數(shù)序列 ， 若存在一個(gè)非降函數(shù) )(xF ,對(duì)于它的每一連續(xù)點(diǎn) x ,都有 )()(lim xFxFnn ???, )()( xFxF wn ? ?? ， 則稱(chēng)分布函數(shù)序列 ? ?)(xFn 弱收斂于 )(xF 。 切比雪夫不等式及其應(yīng)用 切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有有限數(shù)學(xué)期望 ? 和方差 2? ,則對(duì)于任意正數(shù) ? ,如下不等式成立 ， ? ?22???? ???XP或有 ? ?221???? ????XP 這個(gè)不等式可解釋為：對(duì)任意給定的正常數(shù) ? ,可以作出兩個(gè)區(qū)間 ),( ????? 和 ),( ????? ， 不等式 表示 ,在一次試驗(yàn)中 ,隨機(jī)變量 ? 的取值落在 ),( ????? ? ),( ????? 的 概率小于等于22?? 。 （ 2） 已知 期望和方差 ,對(duì)確定的概率 ,利用切比雪夫不等式求出 ? ,從而得到所需估計(jì)區(qū)間的長(zhǎng)度 。 （ 4）它是推導(dǎo)大數(shù)定律和其他定理的依據(jù) 。 解 ： 設(shè) X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù) ,則 7300?EX , 700)( ?X? 則 ? ? ? ? ? ?2100730012100730094005200 ????????? XPXPXP 而 ? ? 91210070021007300 22 ????XP 所以 ? ? 9894005200 ??? XP 幾類(lèi)重要的大數(shù)定律的應(yīng)用 切比雪夫大 數(shù) 定律及其在測(cè)繪方面的應(yīng)用 切比雪夫 大數(shù)定律 ：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列 ?? , 21 nXXX 的數(shù)學(xué)期望 ),(),( 21 XEXE ?? ),(, nXE 與方差 ?? ),(,),(),( 21 nXDXDXD 都存在 ,并且方差是一致有上界的 ,即存在某一常數(shù) K ,使得 ?? ,2,1,)( niKXD i ?＜ ,則對(duì)于任意的正數(shù) ? ,有 1))(11(l i m11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP?！?1】 此推論表明： n 個(gè)相互獨(dú)立的具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的隨機(jī)變量 ,當(dāng) n 很大時(shí) ,它們的算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù) ,這個(gè)常數(shù)就是它們的數(shù)學(xué)期望 。 如果 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 儀器 無(wú)系統(tǒng)誤差 ,問(wèn) n 充分大時(shí) ,是否可以用 ?? ??nin aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值？ 分析：用 2? 表示 儀器 誤差的方差真值 。 解：依題意 ,可以將觀察結(jié)果 ?? , 21 nXXX 看作是相互獨(dú)立具有相同分布的隨機(jī)變量 。 伯努利大數(shù)定律及其在重復(fù)事件方面的應(yīng)用 伯努利大數(shù)定律（頻率的穩(wěn)定性）：設(shè) n? 是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù) ,p 是事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 ,則對(duì)于任意正數(shù) ε ,恒有 0l i m ??????? ???? ?? pnnn或 1lim ??????? ???? ?? pnnn【 2】 表明：隨著 n 的增大 ,事件 A 發(fā)生的頻率 nn? 與其 概率 p 的偏差 pnn ??大于預(yù)先給定 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 的精度 ? 的可能性愈來(lái)愈小 ,小到可以忽略不計(jì) 。 這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫(huà)了頻率的穩(wěn)定性 ,因此 ,在實(shí)際應(yīng)用中 ,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí) ,便可以用時(shí)間發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率 。 我們 可通過(guò)多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn) ,確定事件 A 在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率 為 )(n APPn ??μ。 若把這枚硬幣連拋 10 次 ,則因?yàn)?n 較小 ,發(fā)生大偏差的可能性有時(shí)會(huì)大一些 ,有時(shí)會(huì)小一些 。 當(dāng) n=105 時(shí) ,大偏差放松的可能性小于 ％ ? 。 可見(jiàn) 試驗(yàn)次數(shù)愈多 ,偏差發(fā)生的可能性愈小 。 以上幾個(gè)大數(shù)定律均假設(shè)隨機(jī)變量序列 ? ?nX 的方差存在 ,以下的辛欽大數(shù)定律去掉了這一假設(shè) ,僅設(shè)每個(gè) iX 的數(shù)學(xué)期望存在 ,但同時(shí)要求 ? ?nX 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 。 辛欽大數(shù)定律 ：設(shè) ??iX 為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 ,若 iX 的數(shù)學(xué)期望存在 ,則??iX 服從大數(shù)定律 ,即對(duì)任意的 0＞? ,有 1))(11(l i m 11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP 成立 。 設(shè)想對(duì)隨機(jī)變量 X獨(dú)立重復(fù)地觀察 n 次 ,第 k 次觀察值為 kX ,則 nXXX , 21 ? 應(yīng)該是相互獨(dú)立的 ,且它們的分 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 布應(yīng)該與 X 的分布相同 。 這樣做法的一個(gè) 優(yōu)點(diǎn) 是我們可以不必去管X 的分布究竟是怎樣的 ,我們的目的只是尋找數(shù)學(xué)期望 。 譬如 ,用觀察到的某地區(qū) 5000 個(gè)人的平均壽命作為該地區(qū)的人均壽命的近似值是合適的 ,這樣做法的依據(jù)就是辛欽大數(shù)定律 。 反之 ,用概率方法來(lái)解決數(shù)學(xué)分析中的一些問(wèn)題 ,也是概率論的重要研究方向之一 [3]。 再比如 ,許多極限的運(yùn)算運(yùn)數(shù)學(xué)分析的方法會(huì)很麻煩 ,但是運(yùn)用概率論中相關(guān)的知識(shí)或許會(huì)達(dá)到事半功倍的效果 。 解 ： 假設(shè)隨機(jī)變量 ),2,1( ??ii? 在 [0,1]上有均勻分 布 ,而且相互獨(dú)立 ,有 31,21 2 ?? ii ED ?? 易見(jiàn) ? ??????? ??????? ? 2),( 22221211 nPGPdxdx nnnG nn ?????? ???? ?????? ??????????? ???? 61)(121)(1 22222122221 inn EnPnP ??????? ?? ?????? ??? ?? 611 21 2 ini i EnP ?? 由 n??? , 21 ? 獨(dú)立同分布 ,可見(jiàn) 22221 , n??? ? 獨(dú)立同分布 。 大數(shù)定律是概率論中的重要內(nèi)容 ,其目的是考察 隨機(jī)序列的穩(wěn)定性 。 人們?cè)趯?shí)踐中觀察其他一些隨機(jī)現(xiàn)象時(shí) ， 也常常會(huì)發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果的穩(wěn)定性 。 深入 考慮后 ,大數(shù)定律就是要研究在什么條件下具有穩(wěn)定性的問(wèn)題 ， 同時(shí)大數(shù)定律是保險(xiǎn)財(cái)政穩(wěn)定性重要的理論基礎(chǔ) ， 大數(shù)定律在概率論的所有部分中都有著應(yīng)用 。 例如統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用 ,在信息論中的應(yīng)用 ,在分析 ,數(shù)論等方面的應(yīng)用 。 而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 ,正態(tài)分布是一種最常見(jiàn)而又最重要的分布 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布 ,即使原來(lái)并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量 ,它們的和 分布也近似服從正態(tài)分布 ,自然要提出這樣的問(wèn)題：為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在 ,從而在概率論中占有如此重要的地位？應(yīng)如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象的這一客觀規(guī)律性呢？事實(shí)上 ,這正是客觀實(shí)際的反映 ,中心極限定理就是 概率論中論證隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱(chēng) 。 幾類(lèi)重要的中心極限定理的應(yīng)用 林德伯格定理及其在保險(xiǎn)方面的應(yīng)用 林德伯格定理：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量 ?? nXXX , 21 滿(mǎn)足林德伯格條件， 對(duì)于任意的正數(shù)? ,有 ? ?? ??? ??ni sx iinn ni dxxfxS 122 0)()(1l i m ?? ?＞。 林德伯格定理可以解釋如下：假如被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和 ,其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用 ,則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的 。 這些因素中的每一個(gè)都可能使觀測(cè)的結(jié)果產(chǎn)生很小的誤差 ,然而由于所有這些誤差共同影響著觀測(cè)結(jié)果 ,于是我們得到的是一個(gè)“總的誤差” 。 此外 ,還可以舉出很多類(lèi)似的例子 ,這里具體舉出一個(gè)例子 [4]。 問(wèn) ： (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率多大？ (2)保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于 100 萬(wàn)元 ,200 萬(wàn)元的概率各位多大？ 解： （ 1） 設(shè) X為一年內(nèi)死亡的人數(shù) ,則 X～ B(2500,), 5?np , ?npq 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 P(虧本 )= )15(1)15()3 0 020( ???? 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