【正文】 的和函數(shù)經(jīng)某種規(guī)范化 ， 會在某種意義下收斂到分布已知的隨機(jī)變量 。 以下將證明 ， 可以近似地用某個確定數(shù)列的算術(shù)平均值代替隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值 。1 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 大數(shù)定律 中心極限定理 2 本章引言 ： 對應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的一個結(jié)果 w ， 由描述該結(jié)果的隨機(jī)變量序列 X1,X2,? 可得到一個數(shù)列 X1(w),X2(w),? 。 不同試驗(yàn)結(jié)果對應(yīng)的數(shù)列不同 。 這類問題的解決依賴于大數(shù)定律 。 這類問題 的解決依賴于中心極限定理 。 若隨意觀察 10個學(xué)生的身高 X1, X2 ,? , X10 ， 則 10個數(shù)據(jù)的均值 (X1+X2+? +X10 )/10與 a較接近； 若隨意觀察 100個學(xué)生的身高 X1, X2 ,? , X100 ， 則 100個數(shù)據(jù)的均值 (X1+X2+? +X100 )/100與 a更接近； 若隨意觀察 n(n＜ 10000)個學(xué)生的身高 X1, X2 ,? , Xn ， 當(dāng) n為很 大數(shù) 時 ， 則 n個數(shù)據(jù)的均值 (X1+X2+… +Xn )/n(樣本均值 )，隨著 n的增大而與 a(總體均值 )充分接近 。 (1) 在某種條件下 ， 對任意 ε0， 有 則稱 隨機(jī)變量序列 {Xn}服從 大數(shù)定律 。 1 2 1 2 0 ( ) ？nnX X X a a a nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ):0 nnnX ω X ω X ω a a ali m P ω εnn? ? ?? ? ? ? ? ??? ??????1 2 1 2( ) ( ) ( ): 0 1nnnX ω X ω X ω a a aP ω limnn? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??????????6 一般地 ， 設(shè)有隨機(jī)變量序列 {Xn}和隨機(jī)變量 Y。 大數(shù)定律說明 隨機(jī)變量序列 {Xn}依概率 P收斂 于隨機(jī) 變量 Y， 或者說 {Xn}在 n→∞ 時不 收斂于 Y的概率為 0。簡 記記nnnnPnnXli m P ω X ω Y ω εli m P X Y ε X YP Y? ? ?? ? ??????7 (2) 設(shè)有隨機(jī)變量序列 {Xn}和隨機(jī)變量 Y。 強(qiáng)大數(shù)定律說明 {Xn}依概率 1收斂于隨機(jī)變量 Y， 或者 說 {Xn}幾乎處處收斂于 Y。= =nnnnnnP ω X ω Y ωP X Y YXYX? ? ?? ? ????可 以 證 明 ， 若 ， 則 ， 反 之 ， 則 不 成 立 。a .s PnnX Y X Y??8 大數(shù)定律 定義 隨機(jī)變量序列 {Xn}服從 大數(shù)定律 若隨機(jī)變量序列 {Xn}滿足： 則稱 {Xn}服從 大數(shù)定律。 上 式 表 明 。 XX E XXX E XXP X E X f x xX E X f x xX E X V a r X P X E X ?????????????????證 2222( ) d1 ( )( ( ) ) ( ) dXXf x xV a r X X E X f x x??????????????10 可由切比雪夫不定式直接證明切比雪夫大數(shù)定律 。 ) 或者先證馬爾科夫不等式；再證切比雪夫不等式；然后證明本定理 。nnnnnnniiνPpP A p pX B pν X X XnnE X p D XεnνPp εnpin? ??? ??????????????? ? ??????證 14 伯努利大數(shù)定律的意義： 依 概率意義 講 ， 隨著 n的增大 ， 事件發(fā)生的 頻率 vn/n 越來越接近概率 p， 而 vn/n不接近 p的可能性越來越小 。 該定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性 。 比較： (1) 伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例 。 (3) 各大數(shù)定律成立的條件不同 ， 使用時請注意甄別 。 上式表明 11 [ ( ) ] 0 1niin iP lim X E Xn? ? ? ??? ? ? ??????.11 [ ( ) ] 0 。 柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律表明： 將定理 n重伯努利試驗(yàn) ， 即得如下比伯努利大數(shù)定律 (描述頻率依概率收斂 )更強(qiáng)的博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律 (描述頻率依概率 1收斂 ) 。n askkXn ????18 推論 (博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律 ) 記 vn為 n重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù) ， p為一次試驗(yàn)成功的概率 ， 則 博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律表明： 博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律分別是 洛夫強(qiáng)大數(shù)定律的特例 。設(shè) = 由 于 是 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量序 列 ， 所 以 也 是 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 序 列 ， 且nnnPn n nk k k k nnnkkX E XV ar XX X X X X X X X XannaY X X X XYY X X X X X X???????? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ??有 關(guān) 大 數(shù) 定 律 的 習(xí) 題 選 講解26 3 2 3 1 3n n nX X X??? ? ?20 223 2 3 1 3 3 2 3 1 323 2 3 2 3 1 32 2 21 1 2 3 4 5 6 3 2 3 1 3[ ] [ ] [ ] [ ][ ] ( [ ] ) [ ] [ ]6 4 4 14 1 , 2 , ,{},14滿 足 辛 欽 大 數(shù) 定 律 條 件 ， 所 以且 。niii n nnXn?? ? ? ? ??22 中心極限定理 定義 設(shè) {Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列 ， 具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 ， 記其和函數(shù)為 ， 若 Yn標(biāo)準(zhǔn)化后服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 即 則稱 {Xn}服從中心極限定理 。 11( ( ) )( 0 , 1 )???????????nkk dknkkX E XNVar X1niinYX?? ?1niinYX?? ?23 定理 (林德伯格 萊維中心極限定理 ) 設(shè) {Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列 ， 具有有限的數(shù)學(xué)期望 μ和方差 σ 20， 則{Xn}服從