【正文】 式，因 故：? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：7 ? ?5. 5 定 理 獨 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理? ?210 , 1 .( , ) ,nniin Y NX N n n????此 定 理 表 明 ， 當(dāng) 充 分 大 時 ， 近 似 服 從即 ： （ 近 似 ） ～11 niiXXn ?? ?思 考 題 ：的 近 似分 布 是 什 么 ？2( , )Nn??答 案 ：? ? ? ?? ?212211 2, , , , , 1 , 2 ,1,2niiniinni txinnnXXE X D X iXnnYnXnx R l i m P Y x l i m P x e dtn??????????? ?? ? ?? ??? ? ????????? ? ? ? ? ????????????設(shè) 隨 機 變 量 X 相 互 獨 立 同 分 布 ，則 前 個 變 量 的 和 的 標(biāo) 準(zhǔn) 化 變 量 為 ：有 ： 1( ) ( ) ( ) .n iib n a nP a X bnn???????? ? ? ? ? ??從 而 ，167。 1 2 161 6 , , , ,X X X解 ： 記 只 電 器 元 件 的 壽 命 分 別 為16116 iiXX?? ?則 只 電 器 元 件 的 壽 命 總 和 為 ,? ? ? ? 210 0 , 10 0 1 , 2 , 16 .iiE X D X i? ? ?由 題 設(shè) , 知 ，? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiXXYN????????根 據(jù) 獨 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理 : 近 似 服 從? ? ? ? 19 20 1 19 20P X P X? ? ? ?? ?1 9 2 0 1 6 0 01 400?? ? ?? ?1 19? ? ? ?10 例 4：某保險公司的老年人壽保險有 1萬人參加，每人每年交 200元 , 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬元。 ? ?200PX??? ?, , 1 0 0 0 0 , 0 .0 1 7b n p n p? ? ?解 ： 設(shè) X 為 一 年 中 投 保 老 人 的 死 亡 數(shù) ， 則 X由德莫佛拉普拉斯中心極限定理，保險公司虧本的概率為：? ?10 00 0 10 00 0 20 0PX ??? ?20221npn p p?????? ? ????? ?1 1 ? ? ? ?10思 考 題 ：求 保 險 公 司 至 少盈 利 萬 元 的 概 率 。 ? ?? ?400 2 8 12 1 ( 1 ) 17 npqnpP X P Xnpq? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ?, 4 0 0 , 0 .0 2 b?解 ： 設(shè) 機 器 出 故 障 的 臺 數(shù) 為 X 則 X ， 分 別 用 三 種 方 法 計 算 ：1. 用 二 項 分 布 計 算? ? ? ? ? ? 4 0 0 3 9 92 1 0 1 1 0 .9 8 4 0 0 0 .0 2 0 .9 8 0 .9 9 7 2P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2. 用 泊 松 分 布 近 似 計 算? ? ? ? ? ?4 0 0 0 . 0 2 8 ,2 1 0 1 1 0 . 0 0 0 3 3 5 0 . 0 0 2 6 8 4 0 . 9 9 6 9 .npP X P X P X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3. 用 正 態(tài) 分 布 近 似 計 算12 例 6： 1 20 120 20 2021 1 1, , , ~ ( 1 , 1 )1 1 11 2 320 20 20k k kk k kX X X UX X X? ? ??? ? ?設(shè) 隨 機 變 量 相 互 獨 立 同 分 布 ， 。2 0 2 0 2 0 21 1 11 1 12 0 2 0 2 0kkkk k kXXX? ? ?? ? ?解 ： 由 中 心 極 限 定 理 ， ， ， 均 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 。3 2 2 513 例 7：（例 1續(xù)） 在 n重貝努里試驗中，若已知每次 試驗事件 A出現(xiàn)的概率為 ，試?yán)弥行臉O限定理 , (1)若 n=7500,估計 A出現(xiàn)的頻率在 的概率近似值；（ 2）估計 n,使 A出現(xiàn)的頻率在 至 。? ?( 1 ) 7 5 0 0 , 0 . 7 4 0 . 7 6XnP n? ? ?0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 7 4 0 . 7 5( ) ( )0 . 1 8 7 5 0 . 1 8 7 5n n n nnn??? ? ? ?0 . 0 42 ( ) 1 2 ( 2 ) 1 0 . 9 5 4 43n? ? ? ? ? ? ?0 . 0 42 ( ) 1 0 . 9 ,3n? ? ? ? .0 4( ) 0 .9 5 ,3n? ? ?20 . 0 4 1 . 6 4 5 , ( 2 5 1 . 6 4 5 ) 3 5 0 7 43n n? ? ? ? ?14 例 1(用 Chebyshev不等式的結(jié)果 ) nA解 ： 設(shè) 在 重 貝 努 里 試 驗 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 為 X ，? ?, 0. 75bn?則 X, ? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E X n p n D X n p q n? ? ? ?? ?n XfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1XP P X n nn? ? ? ? ?(2)? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??? ? ? ?( 1 ) 7 5 0 0 , 0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1Xn P P X n nn? ? ? ? ? ?? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 7 57500? ? ?15 大數(shù)定律與中心極限定理的區(qū)別與聯(lián)系： 設(shè) 為獨立同分布隨機變量序列， 則由 對任意的 ε ＞ 0有 大數(shù)定律雖并未給出 的表達(dá)式 ,但保證了其極限是 1. 而在以上條件下，中心極限定理（林德伯格 — 萊維）亦 成立，這時，對于任意的 ε ＞ 0及某固定的 n，有