【正文】 n pt n p t n pPn p p n p p n p pt n p t n pΦ Φn p p n p p34 補(bǔ)充說明二： 使用棣莫弗 —拉普拉斯中心極限定理的 三類方法： (1) 已知 n和 x，求概率。 33 補(bǔ)充說明一： 因?yàn)槎?xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布， 所以 當(dāng) n較小時(shí)，誤差較大。 因?yàn)楫?dāng) n充分大時(shí) ， 。 定理 ， 可用正態(tài)分布逼近兩項(xiàng)分布 ， 故 X~B(n,p)， 當(dāng) n充分大時(shí) ，可用正態(tài)分布近似計(jì)算兩項(xiàng)分布的概率 。 1 221d ( )( 1 ) ( 1 ) 2nx uiinnnX n p Y n plim P x lim P x e u Φ xn p p n p p π??? ? ? ? ? ? ???? ??? ???? ? ? ? ??????? ??????31 說明 ： 棣莫弗 —拉普拉斯中心極限定理是林德伯格 —萊維中心極限定理 的推論 (特例 )。 解 設(shè) Xi 為第 i 次射擊命中的環(huán)數(shù) ， 則 Xi 獨(dú)立同分布 ， 且 E[Xi] =， Var[Xi] =，故 1001900 930930 100 2 900 100 2100 2 100 2( 3 ) ( 5 ) 002 1iiPX?????????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??X 10 9 8 7 6 P 30 當(dāng)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 {Xn}服從 B(1,p)時(shí) ， 有如下棣莫 弗 —拉普拉斯中心極限定理 。 解 設(shè)箱中第 i袋味精的凈重為 Xi, 則 Xi 獨(dú)立同分布 ， 且 E[Xi]=100， Var[Xi] =100， 由中心極限定理 ， 所求概率為： 故一箱味精的凈重大于 20500克的概率為 (很小 )。 因?yàn)閚μ=100， 所以 ，20=nσ1 2 1001 2 100( 125)1 125 100()20( ) 00 20P X X XX X XPΦ? ? ? ?? ? ? ?????28 補(bǔ)充例 1 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量 ， 平均重量為 100克 ， 標(biāo)準(zhǔn)差為 10克 。nniiniiXX μN(yùn) X N μ nnXX X nnnnμnnX μn??????????????????27 例 已知 {Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列 ， 具有數(shù)學(xué)期望 μ=1和方差 σ2=4， 試求 P(X1+X2+? +X100≤125)。 1niiX??1 ( 0 , 1 )近 似 地nii NnXn μ????1niiX??1niiX??26 22121( 0 , 1 ) ( , )10 { }1近 似 地 近 似 地 將 上 式 左 端 改 寫 成 ， 上 述 結(jié) 果 可寫 成 ： 當(dāng) 充 分 大 時(shí) 這 是 獨(dú) 立 同 分 布 中 心 極 限 定 理 的 另 一 個(gè) 形或均 值 為， 方 差 為 的 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 序 列 的 算 術(shù)平 均 ， 當(dāng) 充 分 大 時(shí) 近 似 服 從 均 值 為 ， 方 差 為的 正式 ， 表 明該 結(jié) 果 是 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 中 大 樣 本態(tài) 分 統(tǒng) 計(jì) 推 斷基 礎(chǔ) 。nnnnnnn+Y E YF x P x P X X X n μ xDY σ nl i m F x Φ x????? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ???????應(yīng)25 說明： 一般很難求出 n個(gè)隨機(jī)變量之和 的分布函數(shù) ，而 表明 ， 當(dāng) n充分大時(shí) ， 可以通過 Φ(x)給出 近似的分布 。 因此 ， 當(dāng) n充分大時(shí) ， 無論獨(dú)立同分布的 {Xn}服從何種概率分布 ， 其部分和標(biāo)準(zhǔn)化后的分布都可以近似地用正態(tài)分布代替 (即定理 )。 說明 ： 該定義表明 論證和函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)化后的分布收斂于正態(tài)分布的這類定理叫做 “ 中心極限定理 ” 。k k k k k k kk k k knnkk n n nPE Y E X X X E X E X XV ar X E X E X E XknYYX X X X X X X X Xnnana? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ???21 1()11{}{}( ) ( 5假 設(shè) 某 洗 衣 店 為 第 個(gè) 顧 客 服 務(wù) 的 時(shí) 間 服 從 區(qū) 間[5,53] 單 位 : 分 鐘 上 的 均 勻 分 布 ， 且 對 每 個(gè) 顧 客 是 相 互 獨(dú) 立的 , 試 問 當(dāng) 時(shí) , 次 服 務(wù) 時(shí) 間 的 算 術(shù) 平 均 值 以 概率 收 斂 于 何 值 ？依 題 意 ， 顯 然 有 ， 是 一 個(gè) 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 序 列 ，只 要 存 在 有 限 的 公 共 數(shù) 學(xué) 期 望 ， 則 的 算 術(shù) 平 均 值 依 概 率收 斂 于 其 公 共 數(shù) 學(xué) 期 望 ， 由 于 服 從 [5,53] 上 的 均 勻 分 ，所 以 布iniinniiiXn n XnXXXEX????? 解習(xí) 題13 5 ) / 2 29 , 1 , 2 , ,11 29( )， 所 以 ， 當(dāng) 時(shí) ，次 服 務(wù) 時(shí) 間 的 算 術(shù) 平 均 值 以 概 率 收 斂 于 分 鐘 。 nν pn ??as1=? ? ??? ?????nnνP li m pn19 2 2 21 2 3 4 5 6 3 2 3 1 323 2 3 1 3221 2 3 4 51{ } [ ] 2 ,[ ] 6 , { }{}設(shè) 是 獨(dú) 立 同 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 序 列 ， 且 假 設(shè)證 明 ：并 確 定 常 數(shù) 之 值 。 11 1nkn+kP lim Xn ??? ??? ???????.11 。n asiiiX E Xn????16 引理 (柯爾莫哥洛夫不等式 ) 設(shè) {Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列 ， 具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 ， 則對任意 ?＞ 0， 有 定理 (柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律 ) 設(shè) {Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列 ， 具有有限的數(shù)學(xué)期望 且 則 121 1()( ( ) )nkkkiikn iV a r XP s u p X E X εε??? ???????????12(),?? ? ???+nnVar Xn