【正文】 4條外線 。 李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應用 設 ? ?nX 為獨立隨即變量序列 ,若存在 0＞? ,滿足 0)(1l i m122 ????????ni IInn XEB?? ?, 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 14 則對任意的 x ,有 dtxXBPni iinn ?? ???? ??????? ?? x 2t12e21)(1l i m π? 其中 iiXE ??)( , 2)( ??IXD , 22221)( nin XDB ??? ????? ? 例 10：一份考卷由 99個題目組成 ,并按由易到難順序排列 。 某學生答對第 1 題的概率為 ；答對第 2 題的概率為 ；一般地 ,他答對第 i 題的概率為 1－ 100i , ?,2,1?i 。假如該學生回答各題目是相互獨立的 ,并且要正確回答其中 60 個題目以上（包括 60 個）才算通過考試 。 試計算該學生通過考試的可能性多大？ 解：設若學 生答對第 i 題 ,則 1?iX ；若學生答錯第 i 題 ,則 0?iX 。 于是 Xi相互獨立 ,且服從不同的二點分布： 1001)1( ipXP ii ???? , 1001)0( ipXP ii ???? , 99,2,1 ??i 。 而我們要求的是 ?????? ??? 60991i iXP， 為使用中心極限定理 ,我們可以設想從 100X 開始的隨機變 量都與 99X 同分布 ,且相互獨立 。 下面我們用 1?? 來驗證隨機變量序列 ? ?nX 滿足李雅普諾 夫條件 ,因為 ?????? ?? ?? ni iini in ppXV arB 11 )1()( )( ???n )1()1()1()( 333 iiiiiiii pppppppXE ??????? , 于是 0)1(1)(1211133 ??????? ??????? niiiniiIn pppXEB （ n ??? ） , 即 ? ?nX 滿足李雅普諾夫條件 ,所以可以使用中心極限定理 。 又因為 )1001()( 99 199 199 1 ???? ??? ??? ii ii i ipXE, )100)(1001()( 99 199 1299 ???? ?? ?? ii i iiXDB 所以該學生通過考試的可能性為 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 15 ???????????????????????? ? ?? ?? 60991991iiiiXPXP )(1 ???? 由此看出：此學生通過考試的可能性很小 ,大約只有千分之五 。 3 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應用 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應用 例 11： 現(xiàn)有一大批種子 ,其中良種占 16 ,今在其中任選 6000 粒 ,試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子良種所占的比例與 16 之差小于 1％的概率是多少？ 解 ： （ 1） 設取出的種子中的良種粒數(shù)為 X ,則 )61,6000(~ BX 于是 100061 6000 ??? npEX 10006565616000)1( ??????? pnpDX 要估計的規(guī)律為 ? ?6010001001616000 ＜＜ ???????? ? XPXP, 相當于在切比雪夫不等式中取 60?? ,于是 ? ? 26016010001001616000 DXXPXP ?????????? ? ＜＜ 由題意得 76 36 00110 00651601 2 ???????? DX 即用切比雪夫不等式估計此概率不小于 。 （ 2）由拉普拉斯中心極限定理 ,對于二項分布 )61,6000(B 可用正態(tài)分布 )10065,1000( ?N 近似 ,于是所求概率為 ? ? )65 1000 1000940()65 1000 10001060(1060940100 1616000 ??????????????? ? ＜＜＜ XPXP 9 6 2 )0 7 8 (2 ???? 即用中心極限定理估計此概率不小于 。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 16 從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于 ,而用中心極限 定理可得出要求的概率近似等于 。 從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是 較低 的 。 但由于它的要求比較低 ,只要知道 X的期望和方差 ,因而在理論上有許多運用 。 當然，兩者的比較還有在許多方面的應用，這里就不做詳細 的介紹了，只起到一個引導的作用。 結(jié)束語 隨著社會的飛速發(fā)展 ,市場競爭日趨激烈 ,決策者必須綜合考察以往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷 ,決策概率分析這門學科越來越顯示其重要性 。 利用數(shù)學方法 ,定量地對醫(yī)學問題進行相關分析 ,使其結(jié)論具有可信度 ,更有利于促進對病人的對癥施治等 。 本文詳細介紹了大數(shù)定律和中心極限定理 及其 在生活各方面的應用 。 通過這些詳細的講述 ,可以看到這兩個概率公式的應用是多方面的 。 靈活使用這兩個概率公式會給我們的解題帶來很大方便 ,而 這 兩個概率 定理 的 應用范圍十分廣泛 ,成為我們解決更復雜問題的有效工具 。 本次畢業(yè)論文的撰寫 ,使我擴大了知識范圍 ,鍛煉了觀察和思維能力 ,進一步提高了動手和實踐能力 。 理論聯(lián)系實際 ,使畢業(yè)論文中所應用的理論知識有了更可靠的依據(jù) 。 但由于研究周期較短 ,本研究還有很多不足之處 ,本文只是舉了幾個例子來說明它們的應用 ,事實上它們的應用遠不止于此 ,還可以用來解決投資、保險、工程等一系列不確定的問題 。另外還有什么樣的問題應該用大數(shù)定律 解決呢？什么樣的問題應該用 中心極限定理？什么樣的問題要綜合兩個定理 才能夠解決？本文都沒有得出明確的方法和分類 ,這些都是今后有待進一步深入研究的問題 。 總之這兩大 定理的正確應用有助于進一步研究多個隨機過程的試驗中目標事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率 ,有助于把握隨機事件間的相互影響關系 ,為生產(chǎn)實踐提供更有價值的決策信息 ,成為我們解決問題的有效工具 。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 17 致 謝 大學四年，生活其實很簡單，只是一些讀書、寫字、考試和娛樂的周而復始 。 如果把這種單調(diào)的生活看作一場場的巡回演出，那么我只是一個安靜的演員，無論臺下有多少觀眾，即使是只說給自己聽，在他謝幕時也總要感激一些人，是那些人幫助他走上舞臺，成功或者不那么成功地“演出”。 感謝我的導 師， 仝偉 老師 。 我不是您最出色的學生，而您卻是我最尊敬的老師 。 仝老師為人隨和，治學嚴謹細心，在閑聊中他 總是能像知心朋友一樣鼓勵你 。 仝 老師工作繁忙，還要帶我們組的畢業(yè)論文設計 。 在我寫畢業(yè)論文的每個階段， 仝 老師傾注了大量的心血， 從選題到開題報告，從論文目錄到一遍遍地指出初稿中的具體問題， 仝 老師在百忙之中多 次審閱，對細節(jié)進行修改，并為本文的撰寫提供了許多中肯而且寶貴的意見，在此我表示衷心感謝 。 當然也要感謝曾經(jīng)教育和幫助過我的所有老師，我的點滴成就都來自你們，感謝四年來對我的栽培和教育。 感謝我的室友，同窗好友， 整個畢業(yè)論文的寫作期間和我密切合作的同學，和曾經(jīng)在各個方面給予我?guī)椭幕锇閭儯颜x情深，勿需多言。 最后，我要感謝，感謝培育我的商丘學院，學校濃厚的學術氣氛，舒適的學習環(huán)境我將終身難忘 ！ 再次感謝我的家人、老師和那些永遠也不能忘記的朋友，你們的支持與情感，是我永遠的財富。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 18 參考文獻 [1]沈恒范編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 111115。 [2]茆詩松 ,程依明等編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 133154。 [3]李少輔等 ． 概率 論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]． 河南大學出版社 ,1996： 8899。 [4]謝興武 ． 李宏偉主編 ,概率統(tǒng)計釋難解疑 [M]． 科學出版社 ,2021： 98109。 [5]盛驟等 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 109143。 [6]張從軍 ， 劉亦農(nóng) ， 肖麗華 編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M],復旦大學出版社 ,2021： 110120。 [7]劉次華 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]． 華中科技大學出版社 ,2021： 115125。 [8]陳家鼎 ,鄭忠國編著 ． 概率與統(tǒng)計 [M]． 北京大學出版社 ,2021： 140153。 [9]陳萍 ,李文等編 ． 概率與統(tǒng)計 [M]． 科學出版社 ， 2021： 99115。 [10]封希媛 .大數(shù)定律與中心極限定理在實際中的應用 [J]青海師范大學學報第二版， 2021。