【文章內容簡介】 。 若把這枚硬幣連拋 10 次 ,則因為 n 較小 ,發(fā)生大偏差的可能性有時會大一些 ,有時會小一些 。 若把這枚硬幣連拋 n 次 ,當 n 很大時 ,由切比雪夫不等式知：證明出現的概率與 的偏差大于預先給定的精度 ? （若取精度? =）的可能性 nP n 410n0 .01 42 ????????? ? ＞?? 。 當 n=105 時 ,大偏差放松的可能性小于 ％ ? 。 當 n=106 時 ,大偏差發(fā)生的可能性小于 ％ ? 。 可見 試驗次數愈多 ,偏差發(fā)生的可能性愈小 。 辛欽大數定律及其在數學分析方面的應用 我們已經知道 ,一個隨機變量的方差存在 ,則其數學期望必定存在；但反之不成立 ,即一個隨機變量的數學期望存在 ,則其方差不一定存在 。 以上幾個大數定律均假設隨機變量序列 ? ?nX 的方差存在 ,以下的辛欽大數定律去掉了這一假設 ,僅設每個 iX 的數學期望存在 ,但同時要求 ? ?nX 為獨立同分布的隨機變量序列 。 伯努利大數定律仍然是辛欽大數定律的特例 。 辛欽大數定律 ：設 ??iX 為一獨立同分布的隨機變量序列 ,若 iX 的數學期望存在 ,則??iX 服從大數定律 ,即對任意的 0＞? ,有 1))(11(l i m 11 ?? ?? ???? ?＜ni ini in XEnXnP 成立 。 辛欽大數定律提供了求隨機變量數學期望 )(XE 的近似值的方法 。 設想對隨機變量 X獨立重復地觀察 n 次 ,第 k 次觀察值為 kX ,則 nXXX , 21 ? 應該是相互獨立的 ,且它們的分 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 6 布應該與 X 的分布相同 。 所以 ,在 )(XE 存在的條件下 ,按照辛欽大數定律 ,當 n 足夠大時 ,可以把平均觀察值 ??ni iXn 11 作為 )(XE 的近似值 。 這樣做法的一個 優(yōu)點 是我們可以不必去管X 的分布究竟是怎樣的 ,我們的目的只是尋找數學期望 。 事實上 ,用觀察值的平均去作為隨機變量的均值在實際生活中是常用的方法 。 譬如 ,用觀察到的某地區(qū) 5000 個人的平均壽命作為該地區(qū)的人均壽命的近似值是合適的 ,這樣做法的依據就是辛欽大數定律 。 概率論借助于數學分析 ,可以較好地描述、處理、解 決隨即現象的有關理論和應用問題 。 反之 ,用概率方法來解決數學分析中的一些問題 ,也是概率論的重要研究方向之一 [3]。數學分析中的有些問題 ,用數學分析的方法很難解決 ,但如果巧用概率論的方法 ,則變得比較容易處理了 。 再比如 ,許多極限的運算運數學分析的方法會很麻煩 ,但是運用概率論中相關的知識或許會達到事半功倍的效果 。 例 3：假設?????? ?????? 1,0,2:),( 212222121 nnnn xxxnxxxxxxG ???,求其極限? ?nG ndxdx?? 1 。 解 ： 假設隨機變量 ),2,1( ??ii? 在 [0,1]上有均勻分 布 ,而且相互獨立 ,有 31,21 2 ?? ii ED ?? 易見 ? ??????? ??????? ? 2),( 22221211 nPGPdxdx nnnG nn ?????? ???? ?????? ??????????? ???? 61)(121)(1 22222122221 inn EnPnP ??????? ?? ?????? ??? ?? 611 21 2 ini i EnP ?? 由 n??? , 21 ? 獨立同分布 ,可見 22221 , n??? ? 獨立同分布 。 根據辛欽大數定律知 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 7 1)611(lim 21 2 ?????? ＜ini in EnP ?? 從而 1lim 1 ?? ??? nG nn dxdx ?? 大數定律 的意義 概率論與數理統計是研究隨即現象的統計規(guī)律的科學 ， 而隨機現象的統計規(guī)律性只有在相同條件下進行大量重復試驗或觀察才呈現出來 。 大數定律是概率論中的重要內容 ,其目的是考察 隨機序列的穩(wěn)定性 。 從概率的統計定義中可以看出：一個事件發(fā)生的概率具有穩(wěn)定性 ， 即隨著試驗次數的增多 ， 事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個常數附近 。 人們在實踐中觀察其他一些隨機現象時 ， 也常常會發(fā)現大量隨機個體的平均效果的穩(wěn)定性 。 這就是說 ， 無論個別隨機個體以及它們在 隨機試驗 過程中的個別特征如何 ， 大量隨機個體的平均效果與每一個體的特征無關 ， 且不再是隨機的 。 深入 考慮后 ,大數定律就是要研究在什么條件下具有穩(wěn)定性的問題 ， 同時大數定律是保險財政穩(wěn)定性重要的理論基礎 ， 大數定律在概率論的所有部分中都有著應用 。 除此之外 ,許多學者利用概率論思想研究了大數定律在其他相關領域的應用 。 例如統計方面的應用 ,在信息論中的應用 ,在分析 ,數論等方面的應用 。 2 中心極限定理的應用 前言 大數定律 討論的 是多個隨機變量的平均 ??ni iXn 11 的漸近性質 ,但沒有涉及到隨機變量的分布的問題 。 而概率論與數理統計中 ,正態(tài)分布是一種最常見而又最重要的分布 。 在實際應用中 ,有很多隨機變量都服從正態(tài)分布 。 在實際應用中 ,有很多隨機變量都服從正態(tài)分布 ,即使原來并不服從正態(tài)分布的一些獨立的隨機變量 ,它們的和 分布也近似服從正態(tài)分布 ,自然要提出這樣的問題：為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在 ,從而在概率論中占有如此重要的地位？應如何解釋大量隨機現象的這一客觀規(guī)律性呢？事實上 ,這正是客觀實際的反映 ,中心極限定理就是 概率論中論證隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱 。 概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 8 極限定理 。 幾類重要的中心極限定理的應用 林德伯格定理及其在保險方面的應用 林德伯格定理：設獨立隨機變量 ?? nXXX , 21 滿足林德伯格條件， 對于任意的正數? ,有 ? ?? ??? ??ni sx iinn ni dxxfxS 122 0)()(1l i m ?? ?＞。 其中 )(xfi 是隨機變量 iX 的概率密度 ,則當 ??n 時 ,我們有 dtezZP z tnn ? ?? ??? ?? 2221)(lim ? 即 dtezsXP z tnni iin ???????? ???21221))((l i m?? 其中 z 是任何實數 。 林德伯格定理可以解釋如下：假如被研究的隨機變量可以表示為大量獨立隨機變量的和 ,其中每一個隨機變量對于總和只起微小的作用 ,則可以認為這個隨機變量實際上是服從正態(tài)分布的 。 例如 ,進行觀測時 ,不可避免地有許多引起觀測誤差的隨機因素影響著我們的觀測結果 ,其中有些誤差是由測量儀器的情況引起的 ,這些情況可以在溫室、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于觀測站個人的誤差 ,這些誤差大多數是由于視覺或聽覺引起的 等等 。 這些因素中的每一個都可能使觀測的結果產生很小的誤差 ,然而由于所有這些誤差共同影響著觀測結果 ,于是我們得到的是一個“總的誤差” 。 所以 ,實際觀測的到的誤差可以看作是一個隨機變量 ,它是很多數值微小的獨立隨機變量的總和 ,按林德伯格定理 ,這個隨機變量應該服從 正態(tài) 分布 。 此外 ,還可以舉出很多類似的例子 ,這里具體舉出一個例子 [4]。 例 4： 某保險公司有 2500 個人參加保險 ,每人每年付 1200 元保險費 ,在一年內一個人死亡的概率為 ,死亡時某家屬可向保險公司領得 20 萬元 。 問 ： (1)保險公司虧本的概率多大？ (2)保險公司一年的利潤不少于 100 萬元 ,200 萬元的概率各位多大？ 解： （ 1） 設 X為一年內死亡的人數 ,則 X～ B(2500,), 5?np , ?npq 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 9 P(虧本 )= )15(1)15()3 0 020( ???? XPXPXP ＞＞ )(1) 515(1 ?????????? 保險公司虧本的概率為 ,幾乎為零 。 （ 2） P(利潤 100? ) )1 0 0203 0 0( ??? XP ) 510()10( ?????? XP P(利潤 200? ) )20210300( ??? XP ) 515()5( ?????? XP 以 上結果說明保險公司幾乎不可能虧本 ,不過要記住 ,關鍵之處是對死亡率估計必須正確 ,如果所估計死亡率比實際低 ,甚至低得多 ,那么情況就會不同 。 列維定理及其在極限求解方面的應用 列維定理 ：設隨機變量 nXXX , 21 ? 相互獨立 ,服從同一分布 ,且有有限的數學期望 ? 和方差 2? ,則隨機變量??n1nXYni i?? ?? 的分布函數 )(xFn 滿足如下 極限式 dtexnnXPxF x tni innn ?????????? ???? 21221))((l i m